Exercício 1. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{4}+x}{x^{3}+2 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0} \frac{x^{4}+x}{x^{3}+2x}.
Este é um limite de função racional e, ao substituir x=0, teremos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração e cancelamento de termos comuns.

Passo 2

Verificando a substituição direta em \frac{x^{4}+x}{x^{3}+2x}, obtemos
\frac{0^{4}+0}{0^{3}+2\cdot 0} = \frac{0}{0},
que é indeterminado. Precisamos, então, fatorar algo para simplificar a expressão.

Passo 3

No numerador, fatoramos x:
x^{4}+x = x\,(x^{3}+1).
No denominador, fatoramos x:
x^{3}+2x = x\,(x^{2}+2).

Passo 4

Para x\neq0, podemos cancelar o fator x e reescrever a fração como
\frac{x^{4}+x}{x^{3}+2x} =\frac{x\,(x^{3}+1)}{x\,(x^{2}+2)} =\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}.

Passo 5

Agora o limite não é mais indeterminado. Basta substituir x=0 em \frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}:
\lim_{x\to0}\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2} =\frac{0^{3}+1}{0^{2}+2} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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