QUESTÃO 07:

Analise a situação a seguir resolver a questão.

\begin{aligned} & \iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{dxdy}, \text { onde } \mathrm{D} \text { é a região limita pelas curvas } \\\ & x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=4, \mathrm{y}=\mathrm{x} \text { e } \mathrm{y}=\frac{\sqrt{3}}{3} x \text { no } 1^{\circ} \text { quadrante. } \end{aligned}éã
Utilizando coordenadas polares para resolver a integral dupla apresentada, teremos a seguinte integral dupla:
a) \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} r^{2} r d r d \theta
b) \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^{2} d r d \theta
c) \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} \int_{1}^{2} r^{2} r d r d \theta
d) \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \int_{1}^{2} r^{2} d r d \theta

Passo 1

Temos que calcular
\iint_{R}(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy
onde R é a região no 1^{\circ} quadrante limitada pelos círculos \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=4 e pelas retas \,y=x e \,y=\tfrac{\sqrt3}{3}\,x. Vamos usar coordenadas polares, em que
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^{2}+y^{2}=r^{2}
e
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Logo o integrando vira
(x^{2}+y^{2})\,dx\,dy = r^{2}\,(r\,dr\,d\theta) = r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 3

Os limites em r vêm dos círculos r^{2}=1 e r^{2}=4, ou seja
1 \le r \le 2.

Passo 4

Os limites em \theta vêm das retas \,y=x\implies \theta=\tfrac{\pi}{4}
e \,y=\tfrac{\sqrt3}{3}x\implies \theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt3}{3}\bigr)=\tfrac{\pi}{6}.
Como estamos no primeiro quadrante,
\tfrac{\pi}{6}\le \theta\le \tfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Substituindo tudo, a integral em coordenadas polares fica
\int_{\theta=\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{4}} \int_{r=1}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.

Resposta

c) \displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\int_{1}^{2}r^{2}\,r\,dr\,d\theta

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