Em cada exercício, verifique se B e C são bases. Caso sejam, encontre a matriz de mudança da base B para a base C, isto é, a matriz P_{B \rightarrow C} tal que:
[v]_{C}=P_{B \rightarrow C}[v]_{B}
B=\{(3,1,0),(1,2,1),(0,1,2)\} e C=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
Exercícios em mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se B e C são bases de \mathbb{R}^3 e, sendo, determinar a matriz de mudança de base de B para C, ou seja a matriz P_{B\rightarrow C} que satisfaz
[v]_{C} = P_{B\rightarrow C}\,[v]_{B}.
Aqui o conteúdo é teoria de base e mudança de coordenadas em \mathbb{R}^3. Vamos precisar mostrar que os vetores de cada conjunto são linearmente independentes e, em seguida, montar a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de B na base C.

Passo 2

Verificar se B=\{(3,1,0),(1,2,1),(0,1,2)\} é uma base. Basta calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas:
\det\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} =3\cdot(2\cdot2 - 1\cdot1)\;-\;1\cdot(1\cdot2 - 1\cdot0) =3\cdot3 - 1\cdot2 =9 - 2 =7\neq0.
Como o determinante é não nulo, os vetores de B são linearmente independentes e, portanto, B é base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Verificar se C=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} é base. Esse é justamente o conjunto canônico de \mathbb{R}^3, que é conhecido por formar uma base. Logo, C é base.

Passo 4

Para construir P_{B\rightarrow C}, lembramos que em relação à base canônica C as coordenadas de cada vetor de B são exatamente suas próprias componentes. Logo, colocamos como colunas de P_{B\rightarrow C} os vetores de B:
P_{B\rightarrow C} =\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{B\rightarrow C} =\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados