Seja
uma função não-identicamente nula tal que
para todos
. Mostre que:
(a)
para todo
;
(b)
;
(c)
para todo
e
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define uma função
, não identicamente nula, que satisfaz a equação funcional
para todos
. Vamos usar substituições na equação funcional, não nulidade de
e indução para provar (a), (b) e (c).
Passo 2
Para encontrar
, tomamos
em
Como
não é identicamente nula, existe
tal que
. Cancelando
segue
Passo 3
Primeiro mostramos que
para todo
. Se existisse
com
, então
para todo
, o que contradiz a hipótese.
Agora, para ver que , note que
Agora, para ver que
pois é o dobro de um quadrado positivo.
Passo 4
Mostramos por indução em
que
Caso base
:
Passo indutivo: suponha que vale para
. Então
completando a indução.
Resposta
(a)
para todo
.
(b) .
(c) para todo
e
.
(b)
(c)