Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função não-identicamente nula tal que f(x+y)=2 f(x) f(y) para todos x, y \in \mathbb{R}. Mostre que:
(a) f(x)>0 para todo x \in \mathbb{R};
(b) f(0)=2^{-1};
(c) f(n x)=2^{n-1}[f(x)]^{n} para todo n \in \mathbb{N} e x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, não identicamente nula, que satisfaz a equação funcional
f(x+y)=2\,f(x)\,f(y)
para todos x,y\in\mathbb{R}. Vamos usar substituições na equação funcional, não nulidade de f e indução para provar (a), (b) e (c).

Passo 2

Para encontrar f(0), tomamos y=0 em
f(x+0)=2\,f(x)\,f(0)\;\Longrightarrow\;f(x)=2\,f(x)\,f(0).
Como f não é identicamente nula, existe x tal que f(x)\neq0. Cancelando f(x) segue
1=2\,f(0)\;\Longrightarrow\;f(0)=\tfrac12.

Passo 3

Primeiro mostramos que f(x)\neq0 para todo x. Se existisse a com f(a)=0, então
f(x)=f((x-a)+a)=2\,f(x-a)\,f(a)=0
para todo x, o que contradiz a hipótese.
Agora, para ver que f(x)>0, note que
f(x)=f\Bigl(\tfrac x2+\tfrac x2\Bigr)=2\,\bigl[f(\tfrac x2)\bigr]^{2}>0,
pois é o dobro de um quadrado positivo.

Passo 4

Mostramos por indução em n\in\mathbb{N} que
f(n x)=2^{n-1}\bigl[f(x)\bigr]^{n}.
Caso base n=1:
f(1\cdot x)=f(x)=2^{0}\bigl[f(x)\bigr]^{1}.
Passo indutivo: suponha que vale para n. Então
f\bigl((n+1)x\bigr)=f(n x + x) =2\,f(n x)\,f(x) =2\bigl[2^{n-1}(f(x))^{n}\bigr]\,f(x) =2^{n}\bigl[f(x)\bigr]^{n+1},
completando a indução.

Resposta

(a) f(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
(b) f(0)=2^{-1}.
(c) f(n x)=2^{n-1}\bigl[f(x)\bigr]^{n} para todo n\in\mathbb{N} e x\in\mathbb{R}.

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