Em cada um dos exercícios 1 a 6 considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método dos discos circulares, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
;
reta
Passo 1
O enunciado dá a região
limitada pelas curvas
e pede o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta
usando o método dos discos (washers). Informações e observações extraídas do enunciado:
- As curvas
e se intersectam onde , ou seja em . Logo a região está entre e . - Para cada
com , a região vertical em vai de (parte inferior) até (parte superior). - O eixo de rotação é horizontal e vale
.
O que se pede: calcular o volume do sólido de revolução obtido girando
em torno de
.
Passo 2
Escolha de fatia e fórmula do método dos discos (washers).
- Tome uma fatia vertical de espessura
em abscissa . Ao girar essa fatia em torno de ela gera um disco com furo (washer). - Definir os raios:
- raio externo
= distância do eixo até a borda superior . Logo - raio interno
= distância do eixo até a borda inferior . Logo
- raio externo
- A área da seção transversal (washers) é
- O volume será a integral dessa área ao longo de
de a :
Passo 3
Simplificação do integrando.
Expande-se e simplifica-se:
Portanto a integral fica
Passo 4
Determinar a primitiva de
. Observação direta útil:
- Calcule a derivada de
. Usando regra do produto,
Logo uma primitiva de
é
.
(Se preferir ver por partes: para
usar
,
leva a
e
; somando os termos com
recupera-se
.)
Passo 5
Avaliação da integral definida usando a primitiva encontrada:
Calcule os valores nas extremidades:
- Para
: , então . - Para
: , então .
Substituindo,