Em cada um dos exercícios 1 a 6 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método dos discos circulares, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
R: y=\ln x, y=0, x=e^{2};
E: reta y=-1

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada pelas curvas
y=\ln x,\qquad y=0,\qquad x=e^{2},
e pede o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta E:\,y=-1 usando o método dos discos (washers). Informações e observações extraídas do enunciado:
  • As curvas y=\ln x e y=0 se intersectam onde \ln x=0, ou seja em x=1. Logo a região está entre x=1 e x=e^{2}.
  • Para cada x com 1\le x\le e^{2}, a região vertical em x vai de y=0 (parte inferior) até y=\ln x (parte superior).
  • O eixo de rotação é horizontal e vale y=-1.
O que se pede: calcular o volume do sólido de revolução obtido girando R em torno de y=-1.

Passo 2

Escolha de fatia e fórmula do método dos discos (washers).
  • Tome uma fatia vertical de espessura dx em abscissa x. Ao girar essa fatia em torno de y=-1 ela gera um disco com furo (washer).
  • Definir os raios:
    • raio externo R_{\text{ext}}(x) = distância do eixo y=-1 até a borda superior y=\ln x. Logo R_{\text{ext}}(x)=\ln x - (-1)=\ln x + 1.
    • raio interno R_{\text{int}}(x) = distância do eixo y=-1 até a borda inferior y=0. Logo R_{\text{int}}(x)=0-(-1)=1.
  • A área da seção transversal (washers) é A(x)=\pi\big(R_{\text{ext}}(x)^2-R_{\text{int}}(x)^2\big)=\pi\big((\ln x+1)^2-1^2\big).
  • O volume será a integral dessa área ao longo de x de 1 a e^{2}: V=\pi\int_{1}^{e^{2}}\big((\ln x+1)^2-1\big)\,dx.

Passo 3

Simplificação do integrando.
Expande-se e simplifica-se:
(\ln x+1)^2-1=(\ln^2 x+2\ln x+1)-1=\ln^2 x+2\ln x.
Portanto a integral fica
V=\pi\int_{1}^{e^{2}}\big(\ln^2 x+2\ln x\big)\,dx.

Passo 4

Determinar a primitiva de \ln^2 x+2\ln x. Observação direta útil:
  • Calcule a derivada de x\ln^2 x. Usando regra do produto, \frac{d}{dx}\big(x\ln^2 x\big)=1\cdot\ln^2 x + x\cdot 2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\ln^2 x+2\ln x.
Logo uma primitiva de \ln^2 x+2\ln x é x\ln^2 x.
(Se preferir ver por partes: para \int \ln^2 x\,dx usar u=\ln^2 x, dv=dx leva a \int \ln^2 x\,dx=x\ln^2 x-2\int\ln x\,dx e \int\ln x\,dx=x\ln x-x; somando os termos com 2\int\ln x\,dx recupera-se x\ln^2 x.)

Passo 5

Avaliação da integral definida usando a primitiva encontrada:
V=\pi\Big[ x\ln^2 x\Big]_{1}^{e^{2}}.
Calcule os valores nas extremidades:
  • Para x=e^{2}: \ln(e^{2})=2, então x\ln^2 x = e^{2}\cdot 2^{2}=4e^{2}.
  • Para x=1: \ln 1=0, então 1\cdot 0^{2}=0.
Substituindo,
V=\pi\big(4e^{2}-0\big)=4\pi e^{2}.

Resposta

4\pi e^{2}

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