Em cada um dos Exercícios 31 a 36 expresse as equaçōes dadas em uma das formas do Teorema (13.11) e determine então a excentricidade e a equaçio da diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressarmos a equação dada, $ x^{2} = 1 - 2y $, em uma das formas padrão do Teorema 13.11. Depois disso, precisamos determinar a excentricidade e a equação da diretriz dessa curva. Vamos trabalhar com o conteúdo de Conic Sections, especificamente parabólicas, e para isso vamos precisar reorganizar a equação para identificar seus componentes principais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da forma padrão da parábola. A equação dada é:
Vamos isolar o $ y $:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos comparar essa equação com a forma padrão de uma parábola vertical, que é:
Onde:
- $ (h, k) $ é o vértice da parábola.
- $ a $ determina a abertura e a direcionalidade da parábola.
No nosso caso, a equação está na forma:
Podemos ver que:
- $ h = 0 $
- $ k = \frac{1}{2} $
- $ a = -\frac{1}{2} $
Passo 4
Com $ a = -\frac{1}{2} $, sabemos que a parábola abre para baixo porque $ a $ é negativo. A excentricidade ($ e $) para uma parábola é sempre:
Passo 5
Agora, vamos determinar a equação da diretriz. Para uma parábola na forma $ y = a(x - h)^{2} + k $, a distância do vértice à diretriz é dada por:
Substituindo $ a = -\frac{1}{2} $:
Como a parábola abre para baixo, a diretriz estará acima do vértice. A equação da diretriz é então:
Resposta
A excentricidade da parábola é $ e = 1 $ e a equação da diretriz é $ y = 0 $.