Em cada um dos Exercícios 31 a 36 expresse as equaçōes dadas em uma das formas do Teorema (13.11) e determine então a excentricidade e a equaçio da diretriz.
x^2=1-2 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressarmos a equação dada, $ x^{2} = 1 - 2y $, em uma das formas padrão do Teorema 13.11. Depois disso, precisamos determinar a excentricidade e a equação da diretriz dessa curva. Vamos trabalhar com o conteúdo de Conic Sections, especificamente parabólicas, e para isso vamos precisar reorganizar a equação para identificar seus componentes principais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da forma padrão da parábola. A equação dada é:
x^2 = 1 - 2y
Vamos isolar o $ y $:
y
2y = 1 - x^2
Isso nos dá:
y = 12 - 12x^2

Passo 3

Agora, vamos comparar essa equação com a forma padrão de uma parábola vertical, que é:
y = a(x - h)^2 + k
Onde:
  • $ (h, k) $ é o vértice da parábola.
  • $ a $ determina a abertura e a direcionalidade da parábola.
No nosso caso, a equação está na forma:
(h, k)
Podemos ver que:
  • $ h = 0 $
  • $ k = \frac{1}{2} $
  • $ a = -\frac{1}{2} $

Passo 4

Com $ a = -\frac{1}{2} $, sabemos que a parábola abre para baixo porque $ a $ é negativo. A excentricidade ($ e $) para uma parábola é sempre:
a = -12

Passo 5

Agora, vamos determinar a equação da diretriz. Para uma parábola na forma $ y = a(x - h)^{2} + k $, a distância do vértice à diretriz é dada por:
y = a(x - h)^2 + k
Substituindo $ a = -\frac{1}{2} $:
p = 14a
Como a parábola abre para baixo, a diretriz estará acima do vértice. A equação da diretriz é então:
a = -12
p = 14 times (-12) = 1-2 = -12

Resposta

A excentricidade da parábola é $ e = 1 $ e a equação da diretriz é $ y = 0 $.

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