Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Enunciado: temos o problema de valor inicial dydx-yx=x e^x com condição y(1)=e-1. O conteúdo é equações diferenciais lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos a equação na forma dydx+P(x)y=Q(x), onde P(x)=-tfrac1x e Q(x)=x e^x. O fator integrante é dado por mu(x)=e^integral P(x),dx.

Passo 3

Calculamos o fator integrante e multiplicamos a equação original por ele:
mu(x)=e^integral -tfrac1x ,dx=e^-ln x=x^-1
Multiplicando:
1xdydx-1x^2y=e^x,
reconhecemos à esquerda a derivada
ddxl(yxr)=e^x
Integramos ambos os lados:
yx=integral e^x,dx=e^x+C

Passo 4

Multiplicando por x, a solução geral é y=x e^x+Cx. Impondo y(1)=e-1 temos:
e+C=e-1implies C=-1

Resposta

y(x)=x e^x - x

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