Em cada equação do tipo x^prime=f(t, x) abaixo, determine as regiões no plano t x onde a função correspondente f(t, x) está definida e tem derivada parcial em relação a x contínua por partes em t e x e, portanto, a unicidade pode ser garantida no interior da região.
x^prime=raizx t

Passo 1

Temos a equação x'=raizx,t. O conteúdo é existência e unicidade para EDOs de primeira ordem, que exige que f(t,x)=raizx,t e partial f/partial x sejam contínuas em uma região do plano (t,x).

Passo 2

Para ser real, a função f(t,x)=raizx,t precisa de x,t>=0. Logo, seu domínio natural é dado pelos pontos onde x,t>=0.

Passo 3

Calculamos partial f/partial x aplicando regra da cadeia: partial f/partial x=t2raizx,t. Essa expressão só é bem definida (sem divisão por zero) e contínua quando x,t>0.

Passo 4

Portanto, as regiões abertas onde f e partial f/partial x são contínuas são as componentes de x,t>0, isto é, (i) t>0, x>0 e (ii) t<0, x<0. Nessas regiões a unicidade é garantida pela teoria de Picard-Lindelöf.

Resposta

As duas regiões abertas onde há unicidade são (t,x)mid t>0, x>0 e (t,x)mid t<0, x<0.

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