Em cada equação do tipo
abaixo, determine as regiões no plano
onde a função correspondente
está definida e tem derivada parcial em relação a
contínua por partes em
e
e, portanto, a unicidade pode ser garantida no interior da região.
Passo 1
Temos a equação
. O conteúdo é existência e unicidade para EDOs de primeira ordem, que exige que
e
sejam contínuas em uma região do plano
.
Passo 2
Para ser real, a função
precisa de
. Logo, seu domínio natural é dado pelos pontos onde
.
Passo 3
Calculamos
aplicando regra da cadeia:
. Essa expressão só é bem definida (sem divisão por zero) e contínua quando
.
Passo 4
Portanto, as regiões abertas onde
e
são contínuas são as componentes de
, isto é, (i)
e (ii)
. Nessas regiões a unicidade é garantida pela teoria de Picard-Lindelöf.
Resposta
As duas regiões abertas onde há unicidade são
e
.