Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial: dfracdydx + 4y - e^-x = 0 com y(0)=tfrac43. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, da forma y' + p(x)y = q(x). Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para uma equação da forma y' + p(x)y = q(x), o fator integrante é mu(x) = e^integral p(x),dx. Aqui temos p(x)=4, então
mu(x) = e^integral 4,dx = e^4x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=e^4x. Assim
e^4xdydx + 4e^4xy - e^4xe^-x = 0 e o lado esquerdo se reconhece como derivada do produto e^4xy:
ddxl(e^4xyr) - e^3x = 0 Longrightarrow ddxl(e^4xyr) = e^3x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^4xy = integral e^3x,dx = tfrac13e^3x + C

Passo 5

Isolando y obtemos
y(x) = 13e^3xe^-4x + Ce^-4x = 13e^-x + Ce^-4x

Passo 6

Finalmente, aplicamos a condição inicial y(0)=tfrac43:
y(0) = 13 + C ;=; 43 Longrightarrow C = 1

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = 13e^-x + e^-4x

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