Em cada um dos Exercícios 31 a 36 expresse as equaçōes dadas em uma das formas do Teorema (13.11) e determine então a excentricidade e a equaçio da diretriz.
y^2-16 y-x^2+16=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ y^{2} - 16y - x^{2} + 16 = 0 $. Nosso objetivo é reescrever essa equação em uma das formas padrão do Teorema (13.11), que nos ajuda a identificar que tipo de cônica estamos lidando. Além disso, vamos calcular a excentricidade e encontrar a equação da diretriz dessa cônica. Para isso, vamos usar técnicas como completar o quadrado e conhecer um pouco sobre as propriedades das cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. Vamos agrupar os termos de $ y $ e os termos de $ x $:
y
Pode ser rearranjada para:
x

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a parte do $ y $. Para completar o quadrado em $ y^{2} - 16y $, precisamos adicionar e subtrair o quadrado da metade do coeficiente de $ y $, que é $ \left(\frac{16}{2}\right)^{2} = 64 $:
y
Isso nos dá:
y^2 - 16y

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos quadráticos de um lado:
(y - 8)^2 - x^2 = 64 - 16
Simplificando o lado direito:
(y - 8)^2 - x^2 = 48

Passo 5

Para chegar à forma padrão, vamos dividir todos os termos por 48:
(y - 8)^248 - x^248 = 1
Essa é a forma padrão de uma hipérbole, onde a equação geral é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1

Passo 6

Identificando os valores na nossa equação:
a^2 = 48 Rightarrow a = raiz48 = 4raiz3
b^2 = 48 Rightarrow b = raiz48 = 4raiz3
O centro da hipérbole é $ (h, k) = (0, 8) $.

Passo 7

Agora, vamos calcular a excentricidade $ e $ da hipérbole, que é dada por:
e
Substituindo $ a^{2} $ e $ b^{2} $:
e = raiz1 + b^2a^2

Passo 8

Para encontrar a equação da diretriz, usamos a fórmula:
y = k pm ae
Substituindo os valores:
y = 8 pm 4raiz3raiz2 = 8 pm 2raiz6

Resposta

A equação $ y^{2} - 16y - x^{2} + 16 = 0 $ é uma hipérbole com excentricidade $ e = \sqrt{2} $ e as equações das diretrizes são $ y = 8 + 2\sqrt{6} $ e $ y = 8 - 2\sqrt{6} $.

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