Em cada um dos Exercícios 31 a 36 expresse as equaçōes dadas em uma das formas do Teorema (13.11) e determine então a excentricidade e a equaçio da diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ y^{2} - 16y - x^{2} + 16 = 0 $. Nosso objetivo é reescrever essa equação em uma das formas padrão do Teorema (13.11), que nos ajuda a identificar que tipo de cônica estamos lidando. Além disso, vamos calcular a excentricidade e encontrar a equação da diretriz dessa cônica. Para isso, vamos usar técnicas como completar o quadrado e conhecer um pouco sobre as propriedades das cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar o trabalho. Vamos agrupar os termos de $ y $ e os termos de $ x $:
Pode ser rearranjada para:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para a parte do $ y $. Para completar o quadrado em $ y^{2} - 16y $, precisamos adicionar e subtrair o quadrado da metade do coeficiente de $ y $, que é $ \left(\frac{16}{2}\right)^{2} = 64 $:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos quadráticos de um lado:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Para chegar à forma padrão, vamos dividir todos os termos por 48:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole, onde a equação geral é:
Passo 6
Identificando os valores na nossa equação:
O centro da hipérbole é $ (h, k) = (0, 8) $.
Passo 7
Agora, vamos calcular a excentricidade $ e $ da hipérbole, que é dada por:
Substituindo $ a^{2} $ e $ b^{2} $:
Passo 8
Para encontrar a equação da diretriz, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação $ y^{2} - 16y - x^{2} + 16 = 0 $ é uma hipérbole com excentricidade $ e = \sqrt{2} $ e as equações das diretrizes são $ y = 8 + 2\sqrt{6} $ e $ y = 8 - 2\sqrt{6} $.