Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule
,
e
(onde
é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
;
Passo 1
O enunciado pede que, dadas as funções
e
, a gente calcule as combinações:
e ainda
, indicando o domínio de cada uma. Vamos usar propriedades básicas de soma, subtração, produto, quociente, composição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Para a soma e a subtração, basta somar ou subtrair as expressões de
e
. O domínio de ambas é todo o conjunto dos reais, pois não há restrição de raiz ou divisão por zero.
Passo 3
O produto
também está definido para todo
, já que multiplicação não cria restrição adicional.
Passo 4
No quociente
, precisamos
, ou seja,
. Então o domínio é
.
Passo 5
No quociente inverso
, exigimos
, ou seja,
. Logo o domínio é
.
Passo 6
Para a composição
, substituímos
em
: dá
. Como
está sempre definido, o domínio é
.
Passo 7
Para
, fazemos
. De novo, valor absoluto não impõe restrição, então o domínio é
.
Passo 8
Multiplicar
por uma constante
dá
. Não surgem restrições, então o domínio é
.
Resposta
f+g(x)=3x - 2 + |x|, dom
f-g(x)=3x - 2 - |x|, dom
(fg)(x)=(3x - 2),|x|, dom
\displaystyle\frac{f}{g}(x)=\frac{3x-2}{|x|}, dom\bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)=\mathbb{R}\setminus{0}
\displaystyle\frac{g}{f}(x)=\frac{|x|}{3x-2}, dom\bigl(\tfrac{g}{f}\bigr)=\mathbb{R}\setminus{\tfrac23}\n(f\circ g)(x)=3|x|-2, dom
(g\circ f)(x)=|3x-2|, dom
(kf)(x)=3k x - 2k, dom
f-g(x)=3x - 2 - |x|, dom
(fg)(x)=(3x - 2),|x|, dom
\displaystyle\frac{f}{g}(x)=\frac{3x-2}{|x|}, dom\bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)=\mathbb{R}\setminus{0}
\displaystyle\frac{g}{f}(x)=\frac{|x|}{3x-2}, dom\bigl(\tfrac{g}{f}\bigr)=\mathbb{R}\setminus{\tfrac23}\n(f\circ g)(x)=3|x|-2, dom
(g\circ f)(x)=|3x-2|, dom
(kf)(x)=3k x - 2k, dom