Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule f+g, f-g, f g, f / g, g / f, f circ g, g circ f e k f (onde k é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
f(x)=3 x-2 e g(x)=|x|;

Passo 1

O enunciado pede que, dadas as funções f(x)=3x-2 e g(x)=|x|, a gente calcule as combinações: f+g, f-g, f,g, f/g, g/f, fcirc g, gcirc f e ainda k f, indicando o domínio de cada uma. Vamos usar propriedades básicas de soma, subtração, produto, quociente, composição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Para a soma e a subtração, basta somar ou subtrair as expressões de f e g. O domínio de ambas é todo o conjunto dos reais, pois não há restrição de raiz ou divisão por zero.

Passo 3

O produto f(x)g(x)=(3x-2),|x| também está definido para todo xinR, já que multiplicação não cria restrição adicional.

Passo 4

No quociente fg(x)=3x-2|x|, precisamos |x|neq0, ou seja, xneq0. Então o domínio é Rsetminus0.

Passo 5

No quociente inverso gf(x)=|x|3x-2, exigimos 3x-2neq0, ou seja, xneqtfrac23. Logo o domínio é Rsetminustfrac23.

Passo 6

Para a composição fcirc g, substituímos g(x)=|x| em f: dá f(g(x))=3|x|-2. Como |x| está sempre definido, o domínio é R.

Passo 7

Para gcirc f, fazemos g(f(x))=|,3x-2,|. De novo, valor absoluto não impõe restrição, então o domínio é R.

Passo 8

Multiplicar f por uma constante k (k f)(x)=k(3x-2)=3k x-2k. Não surgem restrições, então o domínio é R.

Resposta

f+g(x)=3x - 2 + |x|, dom (f+g)=R
f-g(x)=3x - 2 - |x|, dom (f-g)=R
(fg)(x)=(3x - 2),|x|, dom (fg)=R
\displaystyle\frac{f}{g}(x)=\frac{3x-2}{|x|}, dom\bigl(\tfrac{f}{g}\bigr)=\mathbb{R}\setminus{0}
\displaystyle\frac{g}{f}(x)=\frac{|x|}{3x-2}, dom\bigl(\tfrac{g}{f}\bigr)=\mathbb{R}\setminus{\tfrac23}\n(f\circ g)(x)=3|x|-2, dom (fcirc g)=R
(g\circ f)(x)=|3x-2|, dom (gcirc f)=R
(kf)(x)=3k x - 2k, dom (kf)=R

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