Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear de primeira ordem
dydx+3xy+2=3x, y(1)=1
Aqui o conteúdo é “equação diferencial linear de 1ª ordem” e vamos precisar usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois usar a condição inicial para determinar a constante.

Passo 2

Primeiro colocamos a ODE na forma padrão dy/dx+p(x)y=q(x). Subtraindo 2 de ambos os lados, obtemos
dydx+3xy=3x-2
Aqui p(x)=3/x e q(x)=3x-2. O fator integrante é
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral 3xdx=e^3ln x=x^3

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^3. Isso transforma o lado esquerdo numa derivada exata:
x^3dydx+3x^2y=ddx(x^3y),
e o lado direito fica
x^3(3x-2)=3x^4-2x^3
Logo
ddx(x^3y)=3x^4-2x^3

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^3y=integral(3x^4-2x^3)dx=35x^5-24x^4+C=35x^5-12x^4+C
Agora isolamos y:
y=35x^2-12x+Cx^-3

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=1 para achar C:
1=35cdot1^2-12cdot1+Ccdot1^-3=35-12+C=110+C,
logo C=1-tfrac110=tfrac910 Substituindo de volta, obtemos a solução particular.

Resposta

y(x)=35x^2-12x+910x^-3

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