Em cada um dos Exercícios 31 a 36 expresse as equaçōes dadas em uma das formas do Teorema (13.11) e determine então a excentricidade e a equaçio da diretriz.
4 x^2-5 y^2+36 y-36=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação passo a passo! A gente tem a equação 4x^2 - 5y^2 + 36y - 36 = 0. O conteúdo que vamos usar aqui é o de Conic Sections (Seções Cônicas), especificamente o Teorema 13.11, que nos ajuda a identificar e colocar a equação em uma forma padrão. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado e reorganizar os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação juntando os termos com x e y separados:
4x^2 - 5y^2 + 36y = 36

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de y. Antes disso, fatoramos o coeficiente de y^2:
-5y^2 + 36y = -5(y^2 - 365y)

Passo 4

Completar o quadrado dentro dos parênteses:
  1. Pegamos o coeficiente de y, que é -365, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(3610)^2 = (185)^2 = 32425
  1. Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:
-5(y^2 - 365y + 32425 - 32425)

Passo 5

Reescrevemos a expressão com o quadrado completo:
-5((y - 185)^2 - 32425) = -5(y - 185)^2 + 3245

Passo 6

Substituímos de volta na equação original:
4x^2 - 5(y - 185)^2 + 3245 = 36

Passo 7

Isolamos os termos constantes:
4x^2 - 5(y - 185)^2 = 36 - 3245 = 1805 - 3245 = -1445

Passo 8

Dividimos toda a equação por -1445 para deixar a equação igual a 1:
4x^2-1445 - 5(y - 185)^2-1445 = 1
Simplificando:
-536x^2 + 25144(y - 185)^2 = 1

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por -1 para ajustar os sinais:
536x^2 - 25144(y - 185)^2 = -1
Multiplicando por -1:
-536x^2 + 25144(y - 185)^2 = 1

Passo 10

Rearranjamos para a forma padrão da hipérbole vertical:
(y - 185)^2(14425) - x^2(1445) = 1
Simplificando as frações:
(y - 185)^2(14425) - x^2(1445) = 1

Passo 11

Agora, identificamos os elementos da hipérbole:
  • Centro: (0, 185)
  • a^2 = 14425 Rightarrow a = 125
  • b^2 = 1445 Rightarrow b = 12raiz5

Passo 12

Calculamos a excentricidade e da hipérbole usando a fórmula:
e = raiz1 + b^2a^2 = raiz1 + 144514425 = raiz1 + 5 = raiz6

Passo 13

Para encontrar a equação da diretriz, usamos a fórmula da diretriz da hipérbole vertical:
y = k pm ae
Onde (h, k) é o centro.
Substituindo os valores:
y = 185 pm 125raiz6 = 185 pm 125raiz6 = 185 pm 2raiz65

Resposta

A excentricidade da hipérbole é e = raiz6 e as equações das diretrizes são y = 185 + 2raiz65 e y = 185 - 2raiz65.

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