Em cada um dos Exercícios 31 a 36 expresse as equaçōes dadas em uma das formas do Teorema (13.11) e determine então a excentricidade e a equaçio da diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação passo a passo! A gente tem a equação . O conteúdo que vamos usar aqui é o de Conic Sections (Seções Cônicas), especificamente o Teorema 13.11, que nos ajuda a identificar e colocar a equação em uma forma padrão. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado e reorganizar os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação juntando os termos com e separados:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Antes disso, fatoramos o coeficiente de :
Passo 4
Completar o quadrado dentro dos parênteses:
Pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor dentro do parênteses:
Passo 5
Reescrevemos a expressão com o quadrado completo:
Passo 6
Substituímos de volta na equação original:
Passo 7
Isolamos os termos constantes:
Passo 8
Dividimos toda a equação por para deixar a equação igual a 1:
Simplificando:
Passo 9
Multiplicamos ambos os lados por para ajustar os sinais:
Multiplicando por :
Passo 10
Rearranjamos para a forma padrão da hipérbole vertical:
Simplificando as frações:
Passo 11
Agora, identificamos os elementos da hipérbole:
Centro:
Passo 12
Calculamos a excentricidade da hipérbole usando a fórmula:
Passo 13
Para encontrar a equação da diretriz, usamos a fórmula da diretriz da hipérbole vertical: