Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e derivadas. O que a gente precisa fazer é encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especialmente o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para que ela fique no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Dividindo toda a equação original por
, temos:
Aqui, $ P(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x $ e $ Q(x) = x $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Vamos calcular isso:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) = \sin x $:
Simplificando $ \sin x \cdot \cot x = \cos x $, temos:
Vemos que a equação volta ao formato original, o que confirma que o fator integrante está correto.
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Para encontrar $ y(x) $, vamos integrar ambos os lados:
Assim:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para $ y $:
Podemos simplificar separando os termos:
Passo 7
Usamos a condição inicial para encontrar a constante $ C $. Sabemos que $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 $. Substituindo $ x = \frac{\pi}{2} $:
Sabemos que $ \cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ e $ \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, então:
Logo, $ C = 1 $.
Resposta
A solução da equação diferencial é: