Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve funções trigonométricas e derivadas. O que a gente precisa fazer é encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação:
y(x)
Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especialmente o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para que ela fique no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
dydx + P(x) y = Q(x)
Dividindo toda a equação original por sin x, temos:
dydx + cos xsin x y = x
Aqui, $ P(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x $ e $ Q(x) = x $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Vamos calcular isso:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) = \sin x $:
mu(x) = sin x
Simplificando $ \sin x \cdot \cot x = \cos x $, temos:
sin x cdot dydx + sin x cdot cot x cdot y = x sin x
Vemos que a equação volta ao formato original, o que confirma que o fator integrante está correto.

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y
Para encontrar $ y(x) $, vamos integrar ambos os lados:
ddx (sin x cdot y) = x sin x
Assim:
y(x)
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para $ y $:
y
Podemos simplificar separando os termos:
y = -x cos x + sin x + Csin x

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar a constante $ C $. Sabemos que $ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 $. Substituindo $ x = \frac{\pi}{2} $:
C
Sabemos que $ \cot \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ e $ \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $, então:
y(pi2) = 2
Logo, $ C = 1 $.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -x cot x + 1 + 1sin x

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