Exercício 1.8.6 Para cada par de funções abaixo, calcule
,
e
(onde
é uma constante) e escreva o conjunto domínio de cada uma das novas funções encontradas.
e
;
Passo 1
O enunciado pede para, dadas as funções f(x)=x−5 e g(x)=x²−1, calcular as combinações f+g, f−g, f·g, f/g, g/f, f∘g, g∘f e k·f, indicando o domínio de cada uma. O conteúdo é operações com funções e domínio de funções, e precisaremos lembrar que dom(f±g)=dom(f∩g), dom(f·g)=dom(f∩g), dom(f/g)=dom(f∩g) menos zeros no denominador, e dom(f∘g)= {x em dom(g) | g(x) em dom(f)}.
Passo 2
Para f+g temos f+g(x)=f(x)+g(x). Logo f+g(x)= (x−5)+(x²−1). Simplificando, f+g(x)= x²+x−6. Como f e g são definidas em ℝ, dom(f+g)=ℝ.
Passo 3
Para f−g temos f−g(x)=f(x)−g(x). Logo f−g(x)= (x−5)−(x²−1). Simplificando, f−g(x)= −x²+x−4. Como f e g são definidas em ℝ, dom(f−g)=ℝ.
Passo 4
Para f·g temos (f·g)(x)=f(x)·g(x). Logo (f·g)(x)= (x−5)(x²−1). Expandindo, (f·g)(x)= x³−x−5x²+5 = x³−5x²−x+5. Domínio é ℝ pois não há restrição de denominador.
Passo 5
Para f/g temos (f/g)(x)=f(x)/g(x)= (x−5)/(x²−1). Precisamos de x²−1≠0, então x≠1 e x≠−1. Dom(f/g)=ℝ{1,−1}.
Passo 6
Para g/f temos (g/f)(x)=g(x)/f(x)= (x²−1)/(x−5). Exigimos x−5≠0, logo x≠5. Dom(g/f)=ℝ{5}.
Passo 7
Para f∘g temos (f∘g)(x)=f(g(x))=g(x)−5. Como g(x)=x²−1, temos f∘g(x)= x²−1−5 = x²−6. Para composições, dom(g)=ℝ e g(x)∈ℝ=dom(f), então dom(f∘g)=ℝ.
Passo 8
Para g∘f temos (g∘f)(x)=g(f(x))=(f(x))²−1. Como f(x)=x−5, g∘f(x)= (x−5)²−1 = x²−10x+25−1 = x²−10x+24. E dom(f)=ℝ e f(x)∈ℝ=dom(g), logo dom(g∘f)=ℝ.
Passo 9
Para k·f temos (k·f)(x)=k·f(x)=k(x−5)= kx−5k. Como multiplicar por constante não cria restrição, dom(k·f)=ℝ.
Resposta
f+g(x)=x²+x−6, dom(f+g)=ℝ; f−g(x)=−x²+x−4, dom(f−g)=ℝ; (f·g)(x)=x³−5x²−x+5, dom(f·g)=ℝ; (f/g)(x)=\frac{x−5}{x²−1}, dom(f/g)=ℝ{1,−1}; (g/f)(x)=\frac{x²−1}{x−5}, dom(g/f)=ℝ{5}; (f∘g)(x)=x²−6, dom(f∘g)=ℝ; (g∘f)(x)=x²−10x+24, dom(g∘f)=ℝ; (k·f)(x)=kx−5k, dom(k·f)=ℝ.