Em cada um dos exercícios abaixo calcular a integral de linha do campo vetorial f ao longo do caminho indicado:
f(x, y, z)=x i+y j+(x z-y) k ao longo do caminho dado por alpha(t)=t^2 i+2 t j+4 t^3 k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo vetorial
f(x,y,z)=x,vec i + y,vec j + (x z - y),vec k
ao longo da curva parametrizada por
alpha(t) = t^2,vec i + 2t,vec j + 4t^3,vec k, 0<= t<=1
O método é usar a fórmula
integralC fcdot d r = integral0^1 fl(alpha(t)r)cdot alpha'(t),dt

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada da parametrização e o campo em alpha(t).
alpha'(t) = ddtl(t^2,,2t,,4t^3r) = l(2t,,2,,12t^2r)
Substituindo na expressão de f,
fl(alpha(t)r) = l(x,y,xz-yr)l|(t^2,2t,4t^3) = l(t^2,,2t,,t^2cdot4t^3 - 2tr) = l(t^2,,2t,,4t^5 - 2tr)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar
fl(alpha(t)r)cdot alpha'(t) = l(t^2,,2t,,4t^5 - 2tr)cdotl(2t,,2,,12t^2r)
Isso dá
t^2cdot2t ;+; 2tcdot2 ;+;(4t^5-2t)cdot12t^2 = 2t^3 ;+;4t ;+;48t^7 ;-;24t^3 =4t ;-;22t^3 ;+;48t^7

Passo 4

Integramos de 0 a 1:
integral0^1l(4t -22t^3 +48t^7r)dt = l[2t^2 -22t^44 +48t^88r]0^1 = 2 - 224 + 488 =2 -5,5 +6 =2,5

Resposta

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