Calcule integralS f d S onde a superfície S e o campo escalar f são dados por:
f(x, y, z)=x^2 y, S: x^2+z^2=a^2, 0 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaSf,dS
onde f(x,y,z)=x^2y e S é o cilindro definido por x^2+z^2=a^2, 0<= y<=1.
O conteúdo aqui é integral de superfície de campo escalar: vamos parametrizar S em coordenadas cilíndricas e usar
dS = llvertpartialtheta rtimespartialy rrrvert,dtheta,dy

Passo 2

Parametrizamos S por
r(theta,y)=l(x(theta),y,z(theta)r) =l(acostheta,;y,;asinthetar),
com 0<=theta<=2pi e 0<= y<=1.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
partialtheta r = (-asintheta,0,acostheta), partialy r = (0,1,0)
O produto vetorial tem módulo
llvertpartialtheta rtimespartialy rrrvert = llvert(-asintheta,0,acostheta)times(0,1,0)rrvert = a
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dS = a,dtheta,dy

Passo 4

Em função de theta e y, o campo vale
f( r(theta,y)) = l(acosthetar)^2,y = a^2cos^2theta,y
Portanto a integral vira
integral duplaSf,dS = integraly=0^1integraltheta=0^2pi l(a^2cos^2theta,yr),(a,dtheta,dy)

Passo 5

Fatorando constants e separando integrais:
integral duplaSf,dS = a^3integral0^1y,dy;integral0^2picos^2theta,dtheta
Sabendo que
integral0^1y,dy = tfrac12, integral0^2picos^2theta,dtheta = pi,
segue
integral duplaSf,dS = a^3,l(tfrac12r),pi = pi,a^32

Resposta

integral duplaSf,dS = pi,a^32

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