Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento
, que obedece à equação:
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I)
(II)
(III)
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A)
(B)
(C)
Determine a solução
do problema para:
Condições Iniciais II e A
(I)
(II)
(III)
(A)
(B)
(C)
Condições Iniciais II e A
Passo 1
O problema é a corda de comprimento
fixa em
e
, regida pela PDE
com condições de contorno homogêneas
e condições iniciais
Vamos usar separação de variáveis e expansão em séries de senos.
Passo 2
No espaço resolvemos
cuja família de autovalores e autovetores é
Com
temos
e frequências
A forma geral da solução é
Passo 3
Impondo
obtemos
Pela ortogonalidade dos senos em
,
Passo 4
Impondo
temos
o que, pela independência das senóides, dá
para todo
.
Passo 5
Como apenas
é não nulo e
, a solução fica