Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento L=2, que obedece à equação:
9 ux x=ut t
Considere as seguintes funções que descrevem a posição inicial da corda, em situações distintas:
(I) u(x, 0)=0
(II) u(x, 0)=sen(pi x2)
(III) u(x, 0)=x
Considere também as seguintes funções que descrevem a velocidade inicial da corda em cada ponto, também em situações distintas:
(A) ut(x, 0)=0
(B) ut(x, 0)=-sen(3 pi x2)
(C) ut(x, 0)=1
Determine a solução u(x, t) do problema para:
Condições Iniciais II e A

Passo 1

O problema é a corda de comprimento L=2 fixa em x=0 e x=2, regida pela PDE
9,uxx=utt,
com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(2,t)=0 e condições iniciais
u(x,0)=sinl(tfracpi x2r), ut(x,0)=0
Vamos usar separação de variáveis e expansão em séries de senos.

Passo 2

No espaço resolvemos
X''+lambda X=0, X(0)=X(2)=0
cuja família de autovalores e autovetores é
lambdan=l(tfracnpi2r)^2, Xn(x)=sinl(tfracnpi x2r), n=1,2,dots
Com c^2=9 temos c=3 e frequências
omegan=craizlambdan=tfrac3npi2
A forma geral da solução é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)sinl(tfracnpi x2r)

Passo 3

Impondo u(x,0)=sin(tfracpi x2) obtemos
sumn=1^inftyAnsinl(tfracnpi x2r) =sinl(tfracpi x2r)
Pela ortogonalidade dos senos em [0,2],
An=22integral0^2sinl(tfracpi x2r)sinl(tfracnpi x2r),dx =1,&n=1,0,&nneq1

Passo 4

Impondo ut(x,0)=0 temos
ut(x,0)=sumn=1^inftyBn,omegansinl(tfracnpi x2r)=0,
o que, pela independência das senóides, dá Bn=0 para todo n.

Passo 5

Como apenas A1=1 é não nulo e B1=0, a solução fica
u(x,t)=cos(omega1 t),sinl(tfracpi x2r) =cosl(tfrac3pi t2r),sinl(tfracpi x2r)

Resposta

u(x,t)=sinl(tfracpi x2r),cosl(tfrac3pi t2r)

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