Em cada um dos exercícios abaixo está definido um campo vetorial f. Em cada caso determinar se f é ou não o gradiente de um campo escalar. Quando for um gradiente encontrar a função potencial correspondente.
f(x, y, z)=2 x y^3 i+x^2 z^3 j+3 x^2 y z^2 k.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
f(x,y,z)=2xy^3,i+x^2z^3,j+3x^2yz^2,k
e pergunta se ele é o gradiente de algum campo escalar (isto é, se existe phi tal que nablaphi=f). Em domínios simplesmente conexos um campo vetorial é gradiente de um escalar se, e somente se, seu rotacional for zero.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional nablatimesf. Denotando
P=2xy^3, Q=x^2z^3, R=3x^2yz^2,
temos
(nablatimesf)x=partial Rpartial y-partial Qpartial z =;3x^2z^2-3x^2z^2=0,
(nablatimesf)y=partial Ppartial z-partial Rpartial x =;0-6xyz^2=-6xyz^2,
(nablatimesf)z=partial Qpartial x-partial Ppartial y =;2xz^3-6xy^2

Passo 3

O rotacional não é o vetor zero (por exemplo, o componente y vale -6xyz^2), logo nablatimesfneq0. Isso mostra que f não é conservativo e, portanto, não existe função potencial phi tal que nablaphi=f.

Resposta

f não é gradiente de nenhum campo escalar, pois nablatimesfneq0.

Exercícios relacionados