Em cada um dos exercícios abaixo está definido um campo vetorial
. Em cada caso determinar se
é ou não o gradiente de um campo escalar. Quando for um gradiente encontrar a função potencial correspondente.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pergunta se ele é o gradiente de algum campo escalar (isto é, se existe
tal que
). Em domínios simplesmente conexos um campo vetorial é gradiente de um escalar se, e somente se, seu rotacional for zero.
Passo 2
Vamos calcular o rotacional
. Denotando
temos
Passo 3
O rotacional não é o vetor zero (por exemplo, o componente
vale
), logo
. Isso mostra que
não é conservativo e, portanto, não existe função potencial
tal que
.