5 Calcule integralS F cdot n d S, onde F(x, y, z)=(z^2-x) i-x y j+3 z k e S é a fronteira do sólido limitado por z=4-y^2, x=0, x=3, z=0 com normal n exterior.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS
onde vec F(x,y,z)=(z^2 - x),vec i - x y,vec j + 3z,vec k e S é a fronteira do sólido E limitado por
z=4-y^2, x=0, x=3, z=0,
com normal exterior.
Conteúdo: Teorema da divergência (Gauss).

Passo 2

Calculamos a divergência de vec F:
divvec F =partialpartial x(z^2-x) +partialpartial y(-xy) +partialpartial z(3z) =-1 - x + 3=2 - x

Passo 3

Pelo Teorema da divergência,
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =integral triplaE(divvec F),dV =integral triplaE(2 - x),dV
No sistema de coordenadas retangulares, E é
0<= x<=3, -2<= y<=2, 0<= z<=4-y^2,
então
integral triplaE(2 - x),dV =integraly=-2^2!integralx=0^3!integralz=0^4-y^2(2 - x),dz,dx,dy

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=0^4-y^2(2 - x),dz =(2 - x)l[zr]0^4-y^2 =(2 - x)(4 - y^2)
Logo o integral vira
integraly=-2^2integralx=0^3(2 - x)(4 - y^2),dx,dy

Passo 5

Integramos em x:
integralx=0^3(2 - x),dx =l[2x-tfracx^22r]0^3 =6-tfrac92=tfrac32
Então
integraly=-2^2(4 - y^2),32,dy =32integral-2^2(4 - y^2),dy
Calculemos
integral-2^24,dy=16, integral-2^2y^2,dy=2integral0^2y^2,dy=2cdottfrac83=tfrac163,
logo
integral-2^2(4 - y^2),dy =16-tfrac163=tfrac323
Multiplicando por tfrac32
32cdot323=16

Resposta

O valor do fluxo é 16.

Exercícios relacionados