Seja a mesma superfície do exercicio 12), e seja um campo escalar. Demonstrar que .
Passo 1
O enunciado pede mostrar a expressão da integral de superfície de um campo escalar sobre a superfície definida como gráfico de . Vamos usar parametrização de superfície e a definição da integral de superfície de função escalar, que envolve o cálculo do vetor normal elementar via produto vetorial.
Passo 2
Parametrizamos por
onde varia em um domínio (a projeção de no plano ). Pela definição da integral de superfície de um campo escalar,
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de r:
rx = partial rpartial x = (1,,0,,fx), ry = partial rpartial y = (0,,1,,fy),
onde fx=partial fpartial x e fy=partial fpartial y.
Passo 4
O produto vetorial é
rx times ry = (1,0,fx)times(0,1,fy) = (-fx,,-fy,,1)