Seja S a mesma superfície do exercicio 12), e seja phi um campo escalar. Demonstrar que
integral duplaS phi(x, y, z) d S=integral duplaS phi(x, y, f(x, y)) raiz1+(partial fpartial x)^2+(partial fpartial y)^2 d x d y.

Passo 1

O enunciado pede mostrar a expressão da integral de superfície de um campo escalar phi sobre a superfície S definida como gráfico de z=f(x,y). Vamos usar parametrização de superfície e a definição da integral de superfície de função escalar, que envolve o cálculo do vetor normal elementar via produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos S por
r(x,y) = (x,,y,,f(x,y)),
onde (x,y) varia em um domínio Dsubset R^2 (a projeção de S no plano xy). Pela definição da integral de superfície de um campo escalar,
integral duplaS phi(x,y,z),dS ;=;integral duplaD phil( r(x,y)r),llVert rxtimes ryrrVert,dx,dy

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de r:
rx = partial rpartial x = (1,,0,,fx), ry = partial rpartial y = (0,,1,,fy),
onde fx=partial fpartial x e fy=partial fpartial y.

Passo 4

O produto vetorial é
rx times ry = (1,0,fx)times(0,1,fy) = (-fx,,-fy,,1)
A norma desse vetor dá o fator de área:
llVert rxtimes ryrrVert = raiz(-fx)^2+(-fy)^2+1^2 = raiz1 + fx^2 + fy^2

Passo 5

Substituindo na fórmula da integral de superfície, obtemos
integral duplaS phi(x,y,z),dS = integral duplaD phil(x,y,f(x,y)r),raiz1 + fx^2 + fy^2;dx,dy,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

integral duplaS phi(x,y,z),dS =integral duplaD phil(x,y,f(x,y)r),raiz1+fx^2+fy^2;dx,dy

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