Considere uma corda de comprimento igual a 5, fixa nas duas extremidades. A seguinte equação diferencial descreve o movimento oscilatório que ocorre na corda:
4 ux x=ut t
A corda encontra-se inicialmente com deslocamento nulo em toda sua extensão, e a velocidade inicial de cada ponto da corda é dada pela expressão:
ut(x, 0)=x
a) Determine a função que descreve a posição da corda;
b) Determine a função que descreve a velocidade da corda;
c) Determine a expressão da posição da corda, em cada ponto, no instante t=10;
d) Determine a expressão da velocidade do ponto x=2 da corda, em função do tempo;

Passo 1

O enunciado dá a equação de onda
utt=4,uxx
num fio de comprimento 5 com condições de contorno fixas u(0,t)=u(5,t)=0. As condições iniciais são
u(x,0)=0, ut(x,0)=x
Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier em senos para encontrar u(x,t) e depois derivar para obter ut(x,t).

Passo 2

Admitimos a expansão em modos normais que satisfazem u(0,t)=u(5,t)=0:
u(x,t)=sumn=1^inftyl[Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r]sinl(tfracnpi x5r)
com
omegan=c,tfracnpi5 e c=2.

Passo 3

Impondo a condição inicial de deslocamento u(x,0)=0, obtemos para todo n:
An=0
Logo, a solução reduz-se a
u(x,t)=sumn=1^infty Bnsin(omegan t)sinl(tfracnpi x5r)

Passo 4

Derivando em t e avaliando em t=0, fica
ut(x,0)=sumn=1^infty Bnomegansinl(tfracnpi x5r)=x
Projetando em sin(tfracnpi x5) e usando ortogonalidade em [0,5] resulta
Bnomegan=25integral0^5 xsinl(tfracnpi x5r),dx =-10(-1)^nnpi
Como omegan=tfrac2npi5, obtemos
Bn=-25(-1)^nn^2pi^2

Passo 5

Substituindo em u(x,t) resulta
u(x,t)=-25pi^2sumn=1^infty(-1)^nn^2sin!l(tfracnpi x5r)sin!l(tfrac2npi t5r)

Passo 6

Derivando em relação a t vem
ut(x,t)=-25pi^2sumn=1^infty(-1)^nn^2sin!l(tfracnpi x5r)2npi5cos!l(tfrac2npi t5r)
Simplificando,
ut(x,t)=10pisumn=1^infty(-1)^n+1nsin!l(tfracnpi x5r)cos!l(tfrac2npi t5r)

Passo 7

Para t=10, temos sin!l(tfrac2npicdot105r)=sin(4npi)=0. Logo,
u(x,10)=0

Passo 8

Substituindo x=2 em ut(x,t) resulta
ut(2,t)=10pisumn=1^infty(-1)^n+1nsin!l(tfrac2npi5r)cos!l(tfrac2npi t5r)

Resposta

a)
u(x,t)=-25pi^2sumn=1^infty(-1)^nn^2sin!l(tfracnpi x5r)sin!l(tfrac2npi t5r)
b)
ut(x,t)=10pisumn=1^infty(-1)^n+1nsin!l(tfracnpi x5r)cos!l(tfrac2npi t5r)
c)
u(x,10)=0
d)
ut(2,t)=10pisumn=1^infty(-1)^n+1nsin!l(tfrac2npi5r)cos!l(tfrac2npi t5r)

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