Considere uma corda de comprimento igual a 5, fixa nas duas extremidades. A seguinte equação diferencial descreve o movimento oscilatório que ocorre na corda:
A corda encontra-se inicialmente com deslocamento nulo em toda sua extensão, e a velocidade inicial de cada ponto da corda é dada pela expressão:
a) Determine a função que descreve a posição da corda;
b) Determine a função que descreve a velocidade da corda;
c) Determine a expressão da posição da corda, em cada ponto, no instante
;
d) Determine a expressão da velocidade do ponto
da corda, em função do tempo;
b) Determine a função que descreve a velocidade da corda;
c) Determine a expressão da posição da corda, em cada ponto, no instante
d) Determine a expressão da velocidade do ponto
Passo 1
O enunciado dá a equação de onda
num fio de comprimento
com condições de contorno fixas
. As condições iniciais são
Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier em senos para encontrar
e depois derivar para obter
.
Passo 2
Admitimos a expansão em modos normais que satisfazem
:
com
e
.
Passo 3
Impondo a condição inicial de deslocamento
, obtemos para todo
:
Logo, a solução reduz-se a
Passo 4
Derivando em
e avaliando em
, fica
Projetando em
e usando ortogonalidade em
resulta
Como
, obtemos
Passo 5
Substituindo em
resulta
Passo 6
Derivando em relação a
vem
Simplificando,
Passo 7
Para
, temos
. Logo,
Passo 8
Substituindo
em
resulta
Resposta
a)
b)
c)
d)