Para cada um dos exercícios abaixo, resolva os seguintes problemas:
(a) Encontre a expansão de
em Série de Fourier Trigonométrica.
(b) A partir do item (a), escreva a Série de Fourier Harmônica de
.
© A partir do item (a), encontre a expansão de
em Série de Fourier Complexa.
(d) Verifique que os coeficientes da Série de Fourier Complexa podem ser obtidos como
(e) Podemos escrever o número complexo
em sua forma polar
. Faça um esboço do gráfico das funções discretas
Considere
a função
-periódica tal que
, para
.
(a) Encontre a expansão de
(b) A partir do item (a), escreva a Série de Fourier Harmônica de
© A partir do item (a), encontre a expansão de
(d) Verifique que os coeficientes da Série de Fourier Complexa podem ser obtidos como
Passo 1
Estamos lidando com a função 2π-periódica definida por f(x)=x² em [0,2π]. O objetivo é obter (a) a Série de Fourier trigonométrica, (b) a forma harmônica, © a Série de Fourier complexa, (d) verificar a expressão integral para os coeficientes Cₙ e (e) esboçar |Cₙ| e φₙ.
Passo 2
Para a Série de Fourier trigonométrica num intervalo simétrico [-π,π], usamos as fórmulas
Como x² é função par, b_n=0. Calculando a_0 temos
logo
Para n≥1, por partes ou tabela, chega-se a
Passo 3
Assim a Série de Fourier trigonométrica fica:
Passo 4
Para escrever na forma harmônica, definimos amplitude e fase via
Como a_n=4(-1)n/n2, temos φ_n=0 se n é par e φ_n=π se n é ímpar. Logo
Passo 5
Na Série de Fourier complexa escrevemos
$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{inx}.
$$
Passo 6
Para verificar a fórmula integral pedida, note que aqui L=π e ω_n=nπ/L=n. Então
$$C_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}{L}f(x)e{-iω_n x}dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}{\pi}x2e^{-inx}dx,
$$
que, ao ser calculada (por partes duas vezes), coincide com C_n=2(-1)n/n2.
que, ao ser calculada (por partes duas vezes), coincide com C_n=2(-1)n/n2.
Passo 7
Para o esboço de n↦|C_n| e n↦φ_n percebemos que |C_n|=2/n² decai como 1/n² e φ_n alterna entre 0 (n par) e π (n ímpar). Em um gráfico discreto colocamos n no eixo horizontal, |C_n| no vertical mostrando pontos decrescentes e φ_n desenha duas linhas horizontais em 0 e em π, alternando conforme n.
Resposta
(a) Série trigonométrica:
$$f(x)=\frac{\pi2}{3}+4\sum_{n=1}\infty\frac{(-1)n}{n2}\cos(nx).