Para cada um dos exercícios abaixo, resolva os seguintes problemas:
(a) Encontre a expansão de f(x) em Série de Fourier Trigonométrica.
(b) A partir do item (a), escreva a Série de Fourier Harmônica de f(x).
© A partir do item (a), encontre a expansão de f(x) em Série de Fourier Complexa.
(d) Verifique que os coeficientes da Série de Fourier Complexa podem ser obtidos como
Cn=12 L integral-L^L f(x) e^-i omegan x d x, onde omegan=n piL
(e) Podemos escrever o número complexo Cn em sua forma polar Cn=|Cn| e^i phin. Faça um esboço do gráfico das funções discretas
n longmapsto|Cn| e n longmapsto phin
Considere f(x) a função 2 pi-periódica tal que f(x)=x^2, para 0 <= x <= 2 pi.

Passo 1

Estamos lidando com a função 2π-periódica definida por f(x)=x² em [0,2π]. O objetivo é obter (a) a Série de Fourier trigonométrica, (b) a forma harmônica, © a Série de Fourier complexa, (d) verificar a expressão integral para os coeficientes Cₙ e (e) esboçar |Cₙ| e φₙ.

Passo 2

Para a Série de Fourier trigonométrica num intervalo simétrico [-π,π], usamos as fórmulas
a0=1piintegral-pi^pix^2dx, an=1piintegral-pi^pix^2cos(nx),dx, bn=1piintegral-pi^pix^2sin(nx),dx
Como x² é função par, b_n=0. Calculando a_0 temos
integral-pi^pix^2dx=2integral0^pix^2dx=2pi^33=2pi^33,
logo
a0=2pi^3/3pi=2pi^23,a02=pi^23
Para n≥1, por partes ou tabela, chega-se a
an=4(-1)^nn^2

Passo 3

Assim a Série de Fourier trigonométrica fica:
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r)=pi^23+4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)

Passo 4

Para escrever na forma harmônica, definimos amplitude e fase via
An=raizan^2+bn^2=4n^2,phin=-arctanbnan=0,&an>0pi,&an<0
Como a_n=4(-1)n/n2, temos φ_n=0 se n é par e φ_n=π se n é ímpar. Logo
f(x)=pi^23+sumn=1^infty4n^2cosl(nx+phinr)

Passo 5

Na Série de Fourier complexa escrevemos
$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{inx}.
f(x)=sumn=-infty^inftyCn e^inx çãéC_n=\frac{a_n-i b_n}{2},\quad C_{-n}=\frac{a_n+i b_n}{2}.
Cn=an-i bn2, C-n=an+i bn2 C_n=\frac{4(-1)n/n2}{2}=\frac{2(-1)n}{n2},\quad C_0=\frac{a_0}{2}=\frac{\pi^2}{3}.
$$

Passo 6

Para verificar a fórmula integral pedida, note que aqui L=π e ω_n=nπ/L=n. Então
$$C_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}{L}f(x)e{-iω_n x}dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}{\pi}x2e^{-inx}dx,
$$
que, ao ser calculada (por partes duas vezes), coincide com C_n=2(-1)n/n2.

Passo 7

Para o esboço de n↦|C_n| e n↦φ_n percebemos que |C_n|=2/n² decai como 1/n² e φ_n alterna entre 0 (n par) e π (n ímpar). Em um gráfico discreto colocamos n no eixo horizontal, |C_n| no vertical mostrando pontos decrescentes e φ_n desenha duas linhas horizontais em 0 e em π, alternando conforme n.

Resposta

(a) Série trigonométrica:
$$f(x)=\frac{\pi2}{3}+4\sum_{n=1}\infty\frac{(-1)n}{n2}\cos(nx).
f(x)=pi^23+4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx) éôf(x)=\frac{\pi2}{3}+\sum_{n=1}\infty\frac{4}{n^2}\cos\bigl(nx+\phi_n\bigr),\quad\phi_n= f(x)=pi^23+sumn=1^infty4n^2cosl(nx+phinr),phin=0,&n parpi,&n ímpar í.
f(x)=sumn=-infty^infty Cn e^inx, C0=pi^23, Cn=2(-1)^nn^2 (nneq0) éf(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty C_n e^{inx},\quad C_0=\frac{\pi^2}{3},\quad C_n=\frac{2(-1)n}{n2}\ (n\neq0).
Cn=12piintegral-pi^pix^2e^-inxdx, C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}{\pi}x2e^{-inx}dx,
|Cn|=2n^2,phin=0 (n par), pi (n ímpar)ó|C_n|=\frac{2}{n^2},\quad\phi_n=0\ (npar),\ \pi\ (nímpar).$$

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