Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
w) (-2)^n3^n+1 arcsen((-1)^n1+n^2)n >= 1

Passo 1

Temos a sequência an=(-2)^n3^n+1,arcsinl(tfrac(-1)^n1+n^2r). O conteúdo aqui é o estudo de limite de uma sequência de termos gerais e vamos precisar usar propriedades de funções contínuas (no caso, arcsin) e comparação assintótica para determinar se an converge e, em caso positivo, achar o limite.

Passo 2

Note que o argumento de arcsin é xn=tfrac(-1)^n1+n^2, e claramente xnto0 quando ntoinfty. Como arcsin é contínua em zero e satisfaz |arcsin(x)|<=|x| para todo x, temos arcsin(xn)sim xn e |arcsin(xn)|<=|xn|.
Usando essa estimativa em an, obtemos
|an|=l|(-2)^n3^n+1r|,|arcsin(xn)|<=2^n3^n+1cdot11+n^2=13,(2/3)^n1+n^2

Passo 3

Como 0<2/3<1, a parte geométrica (2/3)^n tende a zero muito mais rápido que qualquer 1+n^2 cresce. Logo
(2/3)^n1+n^2to0(ntoinfty),

Passo 4

e, por consequência, |an|to0. Isso implica que anto0. Portanto a sequência converge e seu limite é zero.

Resposta

0

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