Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
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Passo 1
Temos a sequência . O conteúdo aqui é o estudo de limite de uma sequência de termos gerais e vamos precisar usar propriedades de funções contínuas (no caso, ) e comparação assintótica para determinar se converge e, em caso positivo, achar o limite.
Passo 2
Note que o argumento de é , e claramente quando . Como é contínua em zero e satisfaz para todo , temos e .
Usando essa estimativa em , obtemos
Passo 3
Como 0<2/3<1, a parte geométrica (2/3)^n tende a zero muito mais rápido que qualquer 1+n^2 cresce. Logo
(2/3)^n1+n^2to0(ntoinfty),
Passo 4
e, por consequência, |an|to0. Isso implica que anto0. Portanto a sequência converge e seu limite é zero.