Esboce os conjuntos de nível de f, para os seguintes valores de c
(n) f(x, y)=4-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar os conjuntos de nível de uma função de duas variáveis. O conteúdo é nível de função f(x,y), e vamos precisar usar a definição de conjuntos de nível: f(x,y)=c.

Passo 2

Igualando f(x,y)=4 - x^2 - y^2 a uma constante c, obtemos:
x^2 + y^2 = 4 - c
Para que esse conjunto exista, precisamos de 4 - c >= 0, ou seja, c <= 4. Se c > 4, não há pontos que satisfaçam a equação.

Passo 3

Geometricamente, x^2 + y^2 = R^2 define um círculo de raio R centrado na origem. Aqui R = raiz4 - c. Então:
  • Para c < 4, temos círculos concêntricos de raio raiz4 - c.
  • Para c = 4, o círculo degenerado de raio zero, ou seja, o ponto (0,0).
  • Para c > 4, o conjunto de nível é vazio.

Passo 4

Para esboçar, basta desenhar uma família de círculos centrados na origem com raios variando conforme c (por exemplo, para c=0, raio 2; para c=3, raio 1; etc.).

Resposta

Os conjuntos de nível são os círculos
x^2 + y^2 = 4 - c
com raio raiz4 - c para c<=4. Em particular: para c<4 são círculos de raio raiz4-c, para c=4 o ponto (0,0) e para c>4 não há nível.

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