Para cada um dos exercícios abaixo, resolva os seguintes problemas:
(a) Encontre a expansão de
em Série de Fourier Trigonométrica.
(b) A partir do item (a), escreva a Série de Fourier Harmônica de
.
© A partir do item (a), encontre a expansão de
em Série de Fourier Complexa.
(d) Verifique que os coeficientes da Série de Fourier Complexa podem ser obtidos como
(e) Podemos escrever o número complexo
em sua forma polar
. Faça um esboço do gráfico das funções discretas
Considere
a função
-periódica tal que
, para
.
(a) Encontre a expansão de
(b) A partir do item (a), escreva a Série de Fourier Harmônica de
© A partir do item (a), encontre a expansão de
(d) Verifique que os coeficientes da Série de Fourier Complexa podem ser obtidos como
Passo 1
A função dada é f(x)=x², estendida como 2π‐periódica em [−π,π]. Precisamos achar: (a) a Série de Fourier trigonométrica (coeficientes a₀, aₙ, bₙ); (b) a forma harmônica (amplitude e fase); © a Série de Fourier complexa (coeficientes Cₙ); (d) mostrar que Cₙ=1/(2L)∫_{−L}^L f(x)e^{−iωₙx}dx com L=π e ωₙ=nπ/L; (e) esboçar |Cₙ| e φₙ em função de n.
Passo 2
Como f(x) é par, todos bₙ=0. Calculamos a₀ e aₙ:
a₀= (1/π) ∫_{−π}^π x² dx = 2π²/3, logo a₀/2=π²/3.
Para n≥1,
aₙ= (1/π)∫_{−π}^π x² cos(nx)dx = (2/π)∫_0^π x² cos(nx)dx.
Fazendo dois integrais por partes, chega‐se a
a₀= (1/π) ∫_{−π}^π x² dx = 2π²/3, logo a₀/2=π²/3.
Para n≥1,
aₙ= (1/π)∫_{−π}^π x² cos(nx)dx = (2/π)∫_0^π x² cos(nx)dx.
Fazendo dois integrais por partes, chega‐se a
Assim
Passo 3
Portanto a Série de Fourier trigonométrica é
Passo 4
Na forma harmônica (amplitude Rₙ e fase φₙ) temos Rₙ=|aₙ|=4/n² e φₙ=arg(aₙ)=
Logo
$$f(x)=\frac{π²}{3}+\sum_{n=1}^∞Rₙ\cos\bigl(nx+φₙ\bigr).
$$
Passo 5
Para a Série de Fourier complexa escrevemos
$$f(x)=\sum_{n=-∞}^∞ Cₙ e^{inx}.
$$
Passo 6
Usando aₙ=Cₙ+C_{-n} e bₙ=i(Cₙ–C_{-n})=0, obtemos para n≠0
Passo 7
Verificamos a fórmula geral com L=π e ωₙ=nπ/L=n:
$$Cₙ=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x)e^{-iωₙx}dx
=\frac{1}{2π}\int_{-π}{π}x²e{-inx}dx,$$
cujo valor é o mesmo 2(-1)^n/n² para n≠0.
cujo valor é o mesmo 2(-1)^n/n² para n≠0.
Passo 8
Por fim, em forma polar |Cₙ|=2/n², φₙ=nπ (0 para n par, π para n ímpar). O esboço discreto mostra |Cₙ| decaindo como 1/n² e φₙ alternando 0 e π.
Resposta
Série trigonométrica: f(x)=π²/3 + 4∑_{n=1}^∞ [(-1)^n/n²] cos(nx)
Forma harmônica (amplitude–fase): Rₙ=4/n², φₙ=0 se n par e π se n ímpar,
f(x)=π²/3 + ∑_{n=1}^∞ Rₙ cos(nx+φₙ)
Série complexa: f(x)=∑_{n=-∞}^∞ Cₙ e^{inx}, com C₀=π²/3 e Cₙ=2(-1)^n/n² (n≠0)
Fórmula integral: Cₙ=(1/(2π))∫_{-π}^π x² e^{-inx}dx, coincide com Cₙ acima
Polar e esboço: |Cₙ|=2/n² decaindo e φₙ=nπ (0 para n par, π para n ímpar).