Para cada um dos exercícios abaixo, resolva os seguintes problemas:
(a) Encontre a expansão de f(x) em Série de Fourier Trigonométrica.
(b) A partir do item (a), escreva a Série de Fourier Harmônica de f(x).
© A partir do item (a), encontre a expansão de f(x) em Série de Fourier Complexa.
(d) Verifique que os coeficientes da Série de Fourier Complexa podem ser obtidos como
Cn=12 L integral-L^L f(x) e^-i omegan x d x, onde omegan=n piL
(e) Podemos escrever o número complexo Cn em sua forma polar Cn=|Cn| e^i phin. Faça um esboço do gráfico das funções discretas
n longmapsto|Cn| e n longmapsto phin
Considere f(x) a função 2 pi-periódica tal que f(x)=x^2, para -pi <= x <= pi.

Passo 1

A função dada é f(x)=x², estendida como 2π‐periódica em [−π,π]. Precisamos achar: (a) a Série de Fourier trigonométrica (coeficientes a₀, aₙ, bₙ); (b) a forma harmônica (amplitude e fase); © a Série de Fourier complexa (coeficientes Cₙ); (d) mostrar que Cₙ=1/(2L)∫_{−L}^L f(x)e^{−iωₙx}dx com L=π e ωₙ=nπ/L; (e) esboçar |Cₙ| e φₙ em função de n.

Passo 2

Como f(x) é par, todos bₙ=0. Calculamos a₀ e aₙ:
a₀= (1/π) ∫_{−π}^π x² dx = 2π²/3, logo a₀/2=π²/3.
Para n≥1,
aₙ= (1/π)∫_{−π}^π x² cos(nx)dx = (2/π)∫_0^π x² cos(nx)dx.
Fazendo dois integrais por partes, chega‐se a
integral0^π x²cos(nx)dx = 2πn²(-1)^n²²
Assim
aₙ = 2π cdot 2πn²(-1)^n = 4(-1)^nn²²²

Passo 3

Portanto a Série de Fourier trigonométrica é
f(x)=a₀2+sumn=1^∞l(aₙcos(nx)+bₙsin(nx)r) =π²3+4sumn=1^∞(-1)^nn²cos(nx) ²²

Passo 4

Na forma harmônica (amplitude Rₙ e fase φₙ) temos Rₙ=|aₙ|=4/n² e φₙ=arg(aₙ)= 0,&(-1)^n>0,π,&(-1)^n<0 Logo
$$f(x)=\frac{π²}{3}+\sum_{n=1}^∞Rₙ\cos\bigl(nx+φₙ\bigr).
$$

Passo 5

Para a Série de Fourier complexa escrevemos
$$f(x)=\sum_{n=-∞}^∞ Cₙ e^{inx}.
$$

Passo 6

Usando aₙ=Cₙ+C_{-n} e bₙ=i(Cₙ–C_{-n})=0, obtemos para n≠0
Cₙ=aₙ2=2(-1)^nn², C0=π²3²²

Passo 7

Verificamos a fórmula geral com L=π e ωₙ=nπ/L=n:
$$Cₙ=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x)e^{-iωₙx}dx
=\frac{1}{2π}\int_{-π}{π}x²e{-inx}dx,$$
cujo valor é o mesmo 2(-1)^n/n² para n≠0.

Passo 8

Por fim, em forma polar |Cₙ|=2/n², φₙ=nπ (0 para n par, π para n ímpar). O esboço discreto mostra |Cₙ| decaindo como 1/n² e φₙ alternando 0 e π.

Resposta

Série trigonométrica: f(x)=π²/3 + 4∑_{n=1}^∞ [(-1)^n/n²] cos(nx)
Forma harmônica (amplitude–fase): Rₙ=4/n², φₙ=0 se n par e π se n ímpar,
f(x)=π²/3 + ∑_{n=1}^∞ Rₙ cos(nx+φₙ)
Série complexa: f(x)=∑_{n=-∞}^∞ Cₙ e^{inx}, com C₀=π²/3 e Cₙ=2(-1)^n/n² (n≠0)
Fórmula integral: Cₙ=(1/(2π))∫_{-π}^π x² e^{-inx}dx, coincide com Cₙ acima
Polar e esboço: |Cₙ|=2/n² decaindo e φₙ=nπ (0 para n par, π para n ímpar).

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