Em cada um dos exercícios a continuação determine a forma reduzida e determine o tipo de Cônica representada pela equação:
x^2+y^2+x y+5 raiz3 x+3 raiz5 y+5=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica geral
x^2+y^2+xy+5raiz3,x+3raiz5,y+5=0
e pede a sua forma reduzida e o tipo. Aqui há termo misto xy, então vamos usar rotação de eixo para eliminar esse termo e depois completar quadrado para obter a forma reduzida.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da parte quadrática:
A=1, B=1, C=1
O discriminante é
De<a = B^2-4AC = 1-4cdot1cdot1 = -3 <0,
logo a curva é uma elipse oblíqua (não degenerada).

Passo 3

Para eliminar o termo xy fazemos rotação de eixo de ângulo varphi tal que
tan(2varphi)=BA-C=11-1=infty Longrightarrow 2varphi=90^circ Longrightarrow varphi=45^circ
Definimos
x = X - Yraiz2, y = X + Yraiz2

Passo 4

Substituindo na parte quadrática:
x^2+y^2+xy =l(X-Yraiz2r)^2 +l(X+Yraiz2r)^2 +l(X-Yraiz2r)l(X+Yraiz2r) =32,X^2+12,Y^2
Os termos lineares ficam
5raiz3,x+3raiz5,y =5raiz62(X-Y)+3raiz102(X+Y) =5raiz6+3raiz102,X +-5raiz6+3raiz102,Y
Assim a equação vira
32X^2+12Y^2 +5raiz6+3raiz102,X +-5raiz6+3raiz102,Y +5=0

Passo 5

Para completar quadrado, multiplicamos tudo por 2:
3X^2+Y^2 +(5raiz6+3raiz10),X +(-5raiz6+3raiz10),Y +10=0
Escrevemos
3l[X^2+5raiz6+3raiz103Xr] +l[Y^2+(-5raiz6+3raiz10)Yr]+10=0
e completamos quadrado:
a=5raiz6+3raiz106, c=-5raiz6+3raiz102,
ficando
3l(X+ar)^2-3a^2 +l(Y+cr)^2-c^2+10=0 ;Longrightarrow; 3(X+a)^2+(Y+c)^2=3a^2+c^2-10
Calcula-se
3a^2+c^2-10 =10l(7-raiz15r),
logo em X,Y a forma reduzida é
3,(X+a)^2+(Y+c)^2=10l(7-raiz15r),
com
a=5raiz6+3raiz106, c=-5raiz6+3raiz102

Passo 6

Dividindo por 10(7-raiz15) obtemos a equação padrão da elipse:
(X+a)^210(7-raiz15)3 ;+; (Y+c)^2 10(7-raiz15) =1
Os semi-eixos valem
a1=raiz10(7-raiz15)3, a2=raiz10(7-raiz15)

Passo 7

O centro em (X,Y) é (-a,-c). Voltando ao sistema original
x=X-Yraiz2, y=X+Yraiz2
obtém-se o centro
(x0,y0) =l(tfrac3raiz5-10raiz33;,;tfrac5raiz3-6raiz53r)
A elipse está rotacionada de 45^circ em relação aos eixos xy.

Resposta

A cônica é uma elipse oblíqua, de centro
l(tfrac3raiz5-10raiz33,,tfrac5raiz3-6raiz53r),
rotacionada de 45^circ, e em coordenadas (X,Y) giradas e transladadas sua forma reduzida é
(X+a)^210(7-raiz15)3 ;+; (Y+c)^2 10(7-raiz15) =1,
com
;a=tfrac5raiz6+3raiz106,;; c=tfrac-5raiz6+3raiz102

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