Em cada um dos exercícios a continuação determine a forma reduzida e determine o tipo de Cônica representada pela equação:
Passo 1
O enunciado dá a cônica geral
e pede a sua forma reduzida e o tipo. Aqui há termo misto
, então vamos usar rotação de eixo para eliminar esse termo e depois completar quadrado para obter a forma reduzida.
Passo 2
Identificamos os coeficientes da parte quadrática:
O discriminante é
logo a curva é uma elipse oblíqua (não degenerada).
Passo 3
Para eliminar o termo
fazemos rotação de eixo de ângulo
tal que
Definimos
Passo 4
Substituindo na parte quadrática:
Os termos lineares ficam
Assim a equação vira
Passo 5
Para completar quadrado, multiplicamos tudo por 2:
Escrevemos
e completamos quadrado:
ficando
Calcula-se
logo em
a forma reduzida é
com
Passo 6
Dividindo por
obtemos a equação padrão da elipse:
Os semi-eixos valem
Passo 7
O centro em
é
. Voltando ao sistema original
obtém-se o centro
A elipse está rotacionada de
em relação aos eixos
.
Resposta
A cônica é uma elipse oblíqua, de centro
,
rotacionada de , e em coordenadas
giradas e transladadas sua forma reduzida é
rotacionada de
com