Em cada um dos exercícios a continuação determine a forma reduzida e determine o tipo de Cônica representada pela equação:
3 x^2+3 y^2-2 x y+2 x-3 y+4=0

Passo 1

O enunciado dá a equação geral da segunda-grau
3x^2+3y^2-2xy+2x-3y+4=0
Queremos encontrar sua forma reduzida (canônica) e dizer de que tipo de cônica se trata. Para isso precisaremos:
  1. Encontrar o centro (translação).
  2. Eliminar o termo misto xy por rotação de eixos.
  3. Escrever a forma canônica e classificar.

Passo 2

Determine o centro (x0,y0) resolvendo
partial fpartial x=6x-2y+2=0, partial fpartial y=6y-2x-3=0
Da primeira 3x-y=-1Rightarrow y=3x+1. Substituindo na segunda:
-2x+6(3x+1)-3=0;Rightarrow;-2x+18x+6-3=0;Rightarrow;16x= -3;Rightarrow;x0=-tfrac316,
y0=3l(-tfrac316r)+1=tfrac716

Passo 3

Para eliminar o termo xy usamos rotação de eixos de ângulo theta tal que
tan2theta=BA-C=-23-3=pminfty ;Longrightarrow; 2theta=pi2 ;Longrightarrow; theta=pi4
Nos novos eixos (x',y') girados de pi/4 em torno do centro, os coeficientes dos quadrados ficam
A'=A+C2+B2sin2theta =3+l(-1r)=2, C'=A+C2-B2sin2theta =3-(-1)=4,
e o termo misto some.

Passo 4

Calcule o valor da constante em (x0,y0):
fl(x0,y0r) =404128 =10132
Logo, na forma transladada e girada a equação vale
2,x'^2+4,y'^2+10132=0 ;Longrightarrow; 2,x'^2+4,y'^2=-10132
Dividindo por -tfrac10132 obtemos a forma canônica
x'^2tfrac10164 ;+; y'^2tfrac101128 =-1

Passo 5

Como o lado direito é negativo e temos dois termos quadráticos com sinais iguais, não há pontos reais. Trata-se de uma elipse imaginária (elipse sem parte real).

Resposta

Forma reduzida:
x'^2101/64+y'^2101/128=-1,
tipo de cônica: elipse imaginária.

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