Em cada um dos exercícios a continuação determine a forma reduzida e determine o tipo de Cônica representada pela equação:
4 x^2+y^2+4 x y-7 raiz5 x+8 y+5=0

Passo 1

O enunciado dá a equação geral da cônica
4x^2+y^2+4xy-7raiz5,x+8y+5=0
Aqui identificamos os coeficientes
A=4, B=4, C=1, D=-7raiz5, E=8, F=5
Para classificar usamos o discriminante De<a = B^2-4AC:
De<a = 4^2-4cdot4cdot1 =16-16=0
Como De<a=0, a cônica é uma parábola.

Passo 2

Para eliminar o termo misto xy, fazemos uma rotação de eixos de ângulo theta tal que
tan(2theta)=BA-C=44-1=43
Dessa forma
costheta=2raiz5, sintheta=1raiz5

Passo 3

Definimos as novas coordenadas
Substituindo apenas a parte quadrática (4x{2}+4xy+y{2}] obtém-se
ãá]

Passo 4

Agora substituímos também os termos lineares
-7raiz5,x+8y. Um cálculo direto dá
-7raiz5,x+8y = -70+8raiz55,x' ;+;35+16raiz55,y'
Então a equação em (x',y') fica
5,x'^2 ;+;-70+8raiz55,x' ;+;35+16raiz55,y' ;+;5 ;=;0

Passo 5

Agrupamos em x' e completamos o quadrado:
5l[x'^2 + -70+8raiz525,x'r] + 35+16raiz55,y' +5 =0
Como
x'^2 + p,x' = l(x' + tfrac p2r)^2 - l(tfrac p2r)^2, p=-70+8raiz525,
segue
5l(x' + -70+8raiz550r)^2 -5l(-70+8raiz550r)^2 + 35+16raiz55,y' +5=0

Passo 6

Reescrevendo e isolando y', temos
35+16raiz55,y' = -5l(x' + -70+8raiz550r)^2 +5l(-70+8raiz550r)^2 -5
Logo
y' = -2535+16raiz5 l(x' + tfrac-70+8raiz550r)^2 ;+;136-56raiz55(35+16raiz5)

Passo 7

Por fim fazemos a translação
X = x' + -70+8raiz550, Y = y' - 136-56raiz55(35+16raiz5),
para levar o vértice à origem. Aí a forma reduzida fica
Y ;=; -2535+16raiz5;X^2
Racionalizando o coeficiente,
-2535+16raiz5 =175-80raiz511,
então finalmente
boxed,Y ;=;175-80raiz511;X^2,

Resposta

A cônica é uma parábola, cuja forma reduzida em eixos adequadamente rotacionados e transladados é
Y ;=;175-80raiz511;X^2

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