Em cada um dos exercícios a continuação determine a forma reduzida e determine o tipo de Cônica representada pela equação:
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede a forma reduzida (canônica) e o tipo de cônica.
Conteúdo: cônicas gerais .
Vamos (i) classificar pela quantidade , (ii) achar o centro resolvendo , (iii) traduzir as coordenadas para o centro e (iv) diagonalizar a parte quadrática por rotação.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
logo é uma hipérbole.
Passo 3
O centro
Isto é
Resolvendo o sistema:
multiplicando a segunda por . Substituindo em obtemos .
Então o centro é
Passo 4
Fazemos a translação
X = x-tfrac174, Y=y-tfrac354
Substituindo na cônica e eliminando os termos lineares, chegamos à forma
7X^2 -6XY + Y^2 +1698=0,
ou seja,
7X^2 -6XY + Y^2 = -1698
A parte quadrática é representada pela matriz
Q=7&-3-3&1,
com autovalores
lambda1,2=7+1pmraiz(7-1)^2+(-6)^22 =4pm3raiz2
Passo 5
Para diagonalizar
Definimos as coordenadas principais por
Na nova base a equação fica
Como , temos hipérbole na forma
onde
Resposta
Forma reduzida (coordenadas (u,v) giradas de varphi=-pi/8 e centradas em (17/4,35/4)):