Em cada um dos exercícios a continuação determine a forma reduzida e determine o tipo de Cônica representada pela equação:
7 x^2+y^2-6 x y-7 x+8 y+1=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
7x^2+y^2-6xy-7x+8y+1=0
e pede a forma reduzida (canônica) e o tipo de cônica.
Conteúdo: cônicas gerais Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.
Vamos (i) classificar pela quantidade B^2-4AC, (ii) achar o centro resolvendo nabla f=0, (iii) traduzir as coordenadas para o centro e (iv) diagonalizar a parte quadrática por rotação.

Passo 2

Identificamos
A=7, B=-6, C=1
Calculamos
B^2-4AC = (-6)^2 -4cdot7cdot1 =36-28=8>0,
logo é uma hipérbole.

Passo 3

O centro
Isto é
Resolvendo o sistema:
multiplicando a segunda por . Substituindo em obtemos .
Então o centro é

Passo 4

Fazemos a translação
X = x-tfrac174, Y=y-tfrac354
Substituindo na cônica e eliminando os termos lineares, chegamos à forma
7X^2 -6XY + Y^2 +1698=0,
ou seja,
7X^2 -6XY + Y^2 = -1698
A parte quadrática é representada pela matriz
Q=7&-3-3&1,
com autovalores
lambda1,2=7+1pmraiz(7-1)^2+(-6)^22 =4pm3raiz2

Passo 5

Para diagonalizar
Definimos as coordenadas principais por
Na nova base a equação fica
Como , temos hipérbole na forma
onde

Resposta

Forma reduzida (coordenadas (u,v) giradas de varphi=-pi/8 e centradas em (17/4,35/4)):
v^2169,(3raiz2+4)16 ;-; u^2169,(4-3raiz2)16 ;=;1
Tipo de cônica: hipérbole.

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