Em cada um dos exercícios a continuação determine a forma reduzida e determine o tipo de Cônica representada pela equação:
x^2+y^2-2 x y+x-y-16=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica genérica
x^2+y^2-2,x,y+x-y-16=0,
e pede a forma reduzida e o tipo de cônica. O conteúdo aqui é redução de equação do segundo grau com termo em xy por rotação de eixos, e classificação via o discriminante B^2-4AC.

Passo 2

Identificamos os coeficientes na forma Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0:
A=1, B=-2, C=1, D=1, E=-1, F=-16
Calculamos o discriminante
De<a = B^2-4AC = (-2)^2-4cdot1cdot1 = 4-4 = 0
Como De<a=0, a cônica é degenerada (caso limite entre parábola e pares de retas paralelas).

Passo 3

Para eliminar o termo misto xy, escolhemos theta tal que
tan(2theta)=BA-C=-20Longrightarrow 2theta = pmpi2
Tomamos theta=pi/4. Definimos
u = xcostheta - ysintheta = x-yraiz2, v = xsintheta + ycostheta = x+yraiz2

Passo 4

Expressamos os termos da equação em função de u e v:
x^2+y^2-2xy = (x-y)^2 = 2u^2, x-y = raiz2,u,
e não surge dependência em v. Substituindo em
x^2+y^2-2xy + x - y -16 = 0
vem
2u^2 + raiz2,u -16 = 0

Passo 5

A equação em (u,v) não envolve v e fatoriza em
2u^2+raiz2,u-16=2l(u-u1r)l(u-u2r)=0,
onde
u1,2 = -raiz2pmraiz1304
Isso corresponde a duas retas paralelas u=u1 e u=u2 (cada uma com v livre), ou seja, é uma cônica degenerada em duas retas paralelas.

Resposta

A forma reduzida, em eixos girados de theta=pi/4, é
2u^2+raiz2,u-16=0,
que se decompõe em
u = -raiz2pmraiz1304,
duas retas paralelas. Portanto, a cônica é degenerada, formada por duas retas paralelas.

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