Questão 2 (2 pts.) Sejam
um espaço vetorial com produto interno
,
uma base ortonormal de
. Seja
um vetor tal que,
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial com produto interno
e que
é uma base ortonormal de
. Temos um vetor
que satisfaz
e precisamos mostrar que
. Vamos usar a propriedade de expansão de vetores em base ortonormal.
Passo 2
Como
é base de
, existe uma única combinação linear
Além disso, pela ortonormalidade de
vale sempre
Logo, dos dados do problema temos
para todo
.
Passo 3
Substituindo
na expansão de
obtemos
ou seja,
é o vetor nulo.