Questão 2 (2 pts.) Sejam V um espaço vetorial com produto interno lang<=, rang<= e B=v1, v2, ldots, vn uma base ortonormal de V. Seja v in V um vetor tal que,
lang<= v, vjrang<==0, para cada j in1,2, ldots, n
Mostre que v=0.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial com produto interno lang<=,,,rang<= e que B=v1,dots,vn é uma base ortonormal de V. Temos um vetor vin V que satisfaz
lang<= v,vjrang<==0 para todo jin1,dots,n,
e precisamos mostrar que v=0. Vamos usar a propriedade de expansão de vetores em base ortonormal.

Passo 2

Como B é base de V, existe uma única combinação linear
v = sumj=1^n alphaj,vj
Além disso, pela ortonormalidade de B vale sempre
alphaj = lang<= v,vjrang<=
Logo, dos dados do problema temos alphaj=0 para todo j.

Passo 3

Substituindo alphaj=0 na expansão de v obtemos
v = sumj=1^n 0cdot vj = 0,
ou seja, v é o vetor nulo.

Resposta

v=0

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