Em cada um dos Exercícios a) a f) dê um ou dois termos iniciais de uma sequência, bem como uma fórmula de recursão para os termos remanescentes. Escreva os dez termos iniciais da sequência.
a_{1}=1, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2^{n}}\\

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} por
a_{1} = 1,\qquad a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{2^{n}}
e pede para escrever os dez primeiros termos dessa sequência.

Passo 2

Aplicando recursivamente a fórmula, obtemos
a_{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2},\quad a_{3} = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4},\quad a_{4} = \frac{7}{4} + \frac{1}{8} = \frac{15}{8},
a_{5} = \frac{15}{8} + \frac{1}{16} = \frac{31}{16},\quad a_{6} = \frac{31}{16} + \frac{1}{32} = \frac{63}{32},\quad a_{7} = \frac{63}{32} + \frac{1}{64} = \frac{127}{64},
a_{8} = \frac{127}{64} + \frac{1}{128} = \frac{255}{128},\quad a_{9} = \frac{255}{128} + \frac{1}{256} = \frac{511}{256},\quad a_{10} = \frac{511}{256} + \frac{1}{512} = \frac{1023}{512}.

Resposta

1,\;\frac{3}{2},\;\frac{7}{4},\;\frac{15}{8},\;\frac{31}{16},\;\frac{63}{32},\;\frac{127}{64},\;\frac{255}{128},\;\frac{511}{256},\;\frac{1023}{512}.

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