Em cada um dos Exercícios a) a f) dê um ou dois termos iniciais de uma sequência, bem como uma fórmula de recursão para os termos remanescentes. Escreva os dez termos iniciais da sequência.
a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{a_{n}}{n+1}\\

Passo 1

O enunciado dá a sequência recursiva a_{1}=1, a_{n+1}=\dfrac{a_{n}}{n+1}.
O conteúdo é sequência recursiva e identificação de padrão; precisamos obter os primeiros termos e ver qual fórmula explícita aparece.

Passo 2

Aplicando a recursão sucessivamente, a_{2}=\dfrac{a_{1}}{2}=\dfrac{1}{2}, a_{3}=\dfrac{a_{2}}{3}=\dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{6}, a_{4}=\dfrac{a_{3}}{4}=\dfrac{1}{6\cdot4}=\dfrac{1}{24}, …
Reconhecemos que em cada passo multiplicamos pelo inverso de (n+1), o que gera fatoriais. Assim, a fórmula fechada é
a_{n}=\frac{1}{n!}.

Passo 3

Usando a_{n}=1/n! para n=1,\dots,10, obtemos os dez termos iniciais:
1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{6},\;\frac{1}{24},\;\frac{1}{120},\;\frac{1}{720},\;\frac{1}{5040},\;\frac{1}{40320},\;\frac{1}{362880},\;\frac{1}{3628800}.

Resposta

1,\;\frac{1}{2},\;\frac{1}{6},\;\frac{1}{24},\;\frac{1}{120},\;\frac{1}{720},\;\frac{1}{5040},\;\frac{1}{40320},\;\frac{1}{362880},\;\frac{1}{3628800}

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