Verifique quais as sequências abaixo convergem ou divergem.
a_{n}=\frac{\ln (n)}{\sqrt{n}}\

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}
e pede para verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é análise de convergência de sequência pelo cálculo do limite quando n\to\infty. Vamos usar o fato de que, para x\to\infty, funções do tipo \ln(x) crescem mais devagar que potências de x, e podemos formalizar isso aplicando a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Para estudar
\lim_{n\to\infty}a_{n}
consideramos a função contínua
f(x)=\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}
e notamos que, quando x\to\infty, tanto \ln(x) quanto \sqrt{x} tendem a \infty. Assim podemos aplicar a regra de l’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}\ln(x)}{\frac{d}{dx}\sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x\to\infty}2\,\frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}.

Passo 3

Como
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0,
segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Portanto, a sequência converge e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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