Verifique quais as sequências abaixo convergem ou divergem.
a_{n}=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n} = \ln\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^{n}
e pede para verificar convergência ou divergência, isto é, calcular
L = \lim_{n\to\infty} a_{n}.
O conteúdo aqui é limite de sequência envolvendo logaritmo e a famosa expressão (1+\tfrac1n)^n.

Passo 2

Reescrevemos a sequência de forma mais conveniente:
a_{n} = \ln\Bigl((1+\tfrac1n)^{n}\Bigr) = n \,\ln\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr).
Ao fazermos n\to\infty, obtemos uma indeterminação do tipo \infty\cdot0, pois n\to\infty e \ln(1+1/n)\to0.

Passo 3

Para resolver a indeterminação escrevemos
n \ln\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr) = \frac{\ln\bigl(1+\tfrac1n\bigr)}{\tfrac1n},
onde agora, ao levar n\to\infty, o numerador e o denominador vão a zero, caracterizando uma forma 0/0. Aplicamos a regra de L’Hôpital (tratando n como variável real x):
  • derivada de \ln(1+1/x) em relação a x é
\frac{d}{dx}\ln\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr) = \frac{1}{1+1/x}\cdot\Bigl(-\tfrac1{x^{2}}\Bigr) = -\frac{1}{x^{2}\bigl(1+1/x\bigr)};
  • derivada de 1/x em relação a x é -1/x^{2}.
Assim
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+1/x)}{1/x} = \lim_{x\to\infty} \frac{-1/[x^{2}(1+1/x)]}{-1/x^{2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+1/x} = 1.
Logo
\lim_{n\to\infty}n\,\ln\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)=1.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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