Em cada expressão abaixo, substitua o símbolo © por um dos sinais <, = ou >, para que as desigualdades sejam válidas.
d) \frac{3}{2} © \frac{4}{6}

Passo 1

O enunciado pede que eu substitua o símbolo © por um dos sinais <, = ou > de forma que a desigualdade abaixo seja verdadeira:
\frac{3}{2}\\ \copyright\\ \frac{4}{6}
As informações dadas são simplesmente as duas frações \dfrac{3}{2} e \dfrac{4}{6}. A pergunta é: qual dos sinais <, =, > torna a relação correta?

Passo 2

Primeira ideia útil: simplificar a segunda fração \dfrac{4}{6}. Para simplificar uma fração, divide-se numerador e denominador pelo maior divisor comum (MDC). Aqui o MDC de 4 e 6 é 2. Dividindo ambos por 2 obtém-se:
\frac{4}{6}=\frac{4\div2}{6\div2}=\frac{2}{3}.
Então agora o problema virou comparar \dfrac{3}{2} com \dfrac{2}{3}.

Passo 3

Vou explicar um método padrão e seguro para comparar duas frações sem usar calculadora: a técnica da multiplicação cruzada. Para comparar \dfrac{a}{b} e \dfrac{c}{d} (com b>0 e d>0), calcula-se a\cdot d e b\cdot c. Se a\cdot d > b\cdot c então \dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{d}; se a\cdot d = b\cdot c então as frações são iguais; se a\cdot d < b\cdot c então \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}.
Explicando por que: multiplicando ambos os lados da desigualdade \dfrac{a}{b} \\ ?\\ \dfrac{c}{d} por bd>0 preserva a ordem e transforma em a d\\ ?\\ b c.

Passo 4

Aplicando multiplicação cruzada às frações \dfrac{3}{2} e \dfrac{2}{3}:
\text{produto 1} = 3\cdot 3 = 9, \qquad \text{produto 2} = 2\cdot 2 = 4.
Como 9>4, pela regra da multiplicação cruzada segue que
\frac{3}{2}>\frac{2}{3}.

Passo 5

Método alternativo (útil para intuição): converter para decimais. Fazendo as divisões:
\frac{3}{2}=1{,}5, \qquad \frac{2}{3}=0{,}6\overline{6}\\ (\text{ou }0{,}666\ldots).
Claramente 1{,}5>0{,}6\overline{6}, o que confirma o resultado anterior. Esse método é mais intuitivo, mas a multiplicação cruzada é exata e evita aproximações.

Passo 6

Conclusão em palavras: comparando os valores encontrados, o primeiro número \dfrac{3}{2} é maior que o segundo \dfrac{4}{6} (que simplificamos para \dfrac{2}{3}). Portanto o sinal que torna a desigualdade verdadeira é o sinal de “maior que”.

Resposta

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