Para cada função abaixo f(x) e para cada a, calcule (quando existir): \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) e \lim _{x \rightarrow a} f(x)
c) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+1, & \text { se } x \neq 3 ; \\\\ 8, & \text { se } x=3 .\end{array} \quad, \mathrm{a}=3\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} 2x+1, & \text{se } x\neq 3,\\[4pt] 8, & \text{se } x=3, \end{cases}
e o ponto \,a=3.\n
As perguntas são: calcular (quando existir)
\lim_{x\to 3^+} f(x),\qquad \lim_{x\to 3^-} f(x)\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 3} f(x).]

Passo 2

Lembrete prático sobre limites laterais e limite total (explicação passo a passo, sem formalismo epsilon-delta complicado):\n
  • A expressão \lim_{x\to 3^+} f(x) significa o valor que f(x) se aproxima quando x tende para 3 vindo da direita (valores maiores que 3).\n
  • A expressão \lim_{x\to 3^-} f(x) significa o valor que f(x) se aproxima quando x tende para 3 vindo da esquerda (valores menores que 3).\n
  • Se as duas limites laterais existem e são iguais, esse valor comum é \lim_{x\to 3} f(x) (o limite bilateral). Se as laterais forem diferentes, o limite bilateral não existe.\n
    Também é útil lembrar: funções polinomiais e funções lineares são contínuas em todo ponto, ou seja, para uma função linear g(x)=mx+b tem-se \lim_{x\to c} g(x)=g\text{(c)}=mc+b.

Passo 3

Observação importante para este problema: para todos os x\neq 3 o valor de f(x) é dado pela expressão linear 2x+1. Portanto, quando estudamos limites para x tendendo a 3 mas com x\neq 3 (o que é exatamente o caso dos limites laterais), podemos trabalhar com a função 2x+1.\n
Em outras palavras, os valores que interessam para as aproximações (à esquerda e à direita de 3) vêm da regra f(x)=2x+1.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 3^+} f(x) (aproximação pela direita):\n
Como para x próximos de 3 (mas x\neq 3) vale f(x)=2x+1 e essa é uma função linear contínua, podemos simplesmente substituir x=3 na expressão 2x+1 para obter o valor limite.\n
Logo,
\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^+} (2x+1)=2\cdot 3+1=6+1=7.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to 3^-} f(x) (aproximação pela esquerda):\n
Pelo mesmo motivo do passo anterior (a regra da função para x\neq 3 é 2x+1, contínua), substituímos x=3 em 2x+1 para obter o limite pela esquerda:\n
\lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3^-} (2x+1)=2\cdot 3+1=7.

Passo 6

Concluir sobre o limite bilateral \lim_{x\to 3} f(x):\n
Como as duas laterais existem e são iguais ( 7 e 7), o limite bilateral existe e vale esse valor comum. Portanto,
\lim_{x\to 3} f(x)=7.

Passo 7

Comentário final didático (como usar isso na prova):\n
  • Mesmo que o valor f(3) esteja definido como 8, isso não altera os limites, porque limites consideram valores quando x se aproxima de 3 com x\neq 3. Aqui os valores próximos de 3 seguem a regra 2x+1, que tende a 7.\n
  • Quando a função tem f(3) diferente do limite, isso é uma descontinuidade removível: o limite existe, mas o valor da função no ponto é diferente. Na prova, frequentemente pedem para indicar se é contínua ou não; a condição de continuidade é \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Aqui \lim_{x\to 3} f(x)=7 e f(3)=8, logo não é contínua em 3.\n
    Dica prática: sempre primeiro identificar qual expressão vale para x próximos de a (mas x\neq a); se for uma expressão contínua (polinomial, racional com denominador não nulo, exponencial, etc.) dê a substituição direta para encontrar as laterais.

Resposta

\lim_{x\to 3^+} f(x)=7\n
\lim_{x\to 3^-} f(x)=7\n
\lim_{x\to 3} f(x)=7

Exercícios relacionados