Derivação Implícita:
F(x, y)=\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{\cos (x-y)}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
F(x,y)=\frac{\sin(x+y)}{\cos(x-y)}=0.
O que se pede: encontrar \dfrac{dy}{dx} (ou y') ao longo da curva definida por essa igualdade.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar:
  • A igualdade é uma fração igual a zero, portanto a expressão só faz sentido quando o denominador existe; isto é, há a condição implícita \cos(x-y)\neq 0.
  • A incógnita dependente é y (função implícita de x); queremos a derivada de y em relação a x.
  • Não foram dadas restrições numéricas adicionais, então a solução deve ser válida para todos os pontos da curva onde a expressão está bem definida.

Passo 2

Escolha do método e revisão das ferramentas necessárias (passo didático curto):
  • Vou usar diferenciação implícita: derivar ambos os lados da igualdade em relação a x e resolver para y'.
  • Relembrando as regras que vou usar:
    • Derivada do quociente \dfrac{u}{v} é \dfrac{u'v-uv'}{v^2} (regra do quociente).
    • Regra da cadeia: se u(x)=\sin(g(x)) então u'(x)=\cos(g(x))\cdot g'(x); se v(x)=\cos(h(x)) então v'(x)=-\sin(h(x))\cdot h'(x).
  • Defino as funções internas explicitamente:
    • u(x,y)=\sin(x+y). Aqui g(x)=x+y e g'(x)=1+y' (porque \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \dfrac{d}{dx}(y)=y').
    • v(x,y)=\cos(x-y). Aqui h(x)=x-y e h'(x)=1-y'.

Passo 3

Derivar a igualdade usando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin(x+y)}{\cos(x-y)}\right)=0.
Aplicando \dfrac{u'v-uv'}{v^2}=0, com u=\sin(x+y) e v=\cos(x-y), obtemos
\frac{\big(\cos(x+y)\cdot(1+y')\big)\cdot\cos(x-y)\;-\;\sin(x+y)\cdot\big(-\sin(x-y)\cdot(1-y')\big)}{\cos^2(x-y)}=0.
Explicando cada termo:
  • \cos(x+y)\cdot(1+y') é u' pela cadeia (derivada de \sin(x+y)).
  • -\sin(x-y)\cdot(1-y') é v' pela cadeia (derivada de \cos(x-y)).
  • Os produtos seguem a regra do quociente.

Passo 4

Simplificar a expressão usando que a igualdade original vale zero:
  • Como \dfrac{\sin(x+y)}{\cos(x-y)}=0 e estamos considerando pontos onde \cos(x-y)\neq 0 (caso contrário a expressão não está definida), segue que \sin(x+y)=0 ao longo da curva. Portanto o fator \sin(x+y) que aparece no numerador da derivada é igual a zero nessas pontos.
  • Substituindo \sin(x+y)=0 na expressão do passo anterior, o segundo termo do numerador se anula, sobrando
\frac{\cos(x+y)\cdot(1+y')\cdot\cos(x-y)}{\cos^2(x-y)}=0.
  • Podemos simplificar \cos(x-y) (dividir numerador e denominador por \cos(x-y), lembrando que \cos(x-y)\neq 0), obtendo
\frac{\cos(x+y)\cdot(1+y')}{\cos(x-y)}=0.
  • Novamente, \cos(x-y)\neq 0, então o fator não anula a fração; assim o numerador deve ser zero:
\cos(x+y)\cdot(1+y')=0.

Passo 5

Determinar y' a partir da equação simplificada:
  • Ao longo da curva temos \sin(x+y)=0. Para tais valores de argumento, \cos(x+y)=\cos(k\pi)=(-1)^k, que nunca é zero ( \pm 1). Logo \cos(x+y)\neq 0 nos pontos válidos da curva.
  • Como \cos(x+y)\neq 0, da equação \cos(x+y)\cdot(1+y')=0 segue imediatamente que
1+y'=0.
  • Portanto
y'=-1.

Passo 6

Observação alternativa (jeito mais direto e curto, que dá a mesma resposta):
  • A partir da relação que vale na curva, como \cos(x-y)\neq 0 então \sin(x+y)=0. Diferenciando \sin(x+y)=0 diretamente:
\frac{d}{dx}\big(\sin(x+y)\big)=\cos(x+y)\cdot(1+y')=0.
  • Como \cos(x+y)\neq 0 nos pontos da curva, conclui-se 1+y'=0 e então y'=-1. É o mesmo resultado, e é uma forma mais enxuta para fazer na prova.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=-1

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