Derivação Implícita:
Passo 1
O enunciado nos dá a relação implícita
O que se pede: encontrar
(ou
) ao longo da curva definida por essa igualdade.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar:
- A igualdade é uma fração igual a zero, portanto a expressão só faz sentido quando o denominador existe; isto é, há a condição implícita
. - A incógnita dependente é
(função implícita de ); queremos a derivada de em relação a . - Não foram dadas restrições numéricas adicionais, então a solução deve ser válida para todos os pontos da curva onde a expressão está bem definida.
Passo 2
Escolha do método e revisão das ferramentas necessárias (passo didático curto):
- Vou usar diferenciação implícita: derivar ambos os lados da igualdade em relação a
e resolver para . - Relembrando as regras que vou usar:
- Derivada do quociente
é (regra do quociente). - Regra da cadeia: se
então ; se então .
- Derivada do quociente
- Defino as funções internas explicitamente:
-
. Aqui e (porque e ). -
. Aqui e .
-
Passo 3
Derivar a igualdade usando a regra do quociente:
Aplicando
, com
e
, obtemos
Explicando cada termo:
-
é pela cadeia (derivada de ). -
é pela cadeia (derivada de ). - Os produtos seguem a regra do quociente.
Passo 4
Simplificar a expressão usando que a igualdade original vale zero:
- Como
e estamos considerando pontos onde (caso contrário a expressão não está definida), segue que ao longo da curva. Portanto o fator que aparece no numerador da derivada é igual a zero nessas pontos. - Substituindo
na expressão do passo anterior, o segundo termo do numerador se anula, sobrando
- Podemos simplificar
(dividir numerador e denominador por , lembrando que ), obtendo
- Novamente,
, então o fator não anula a fração; assim o numerador deve ser zero:
Passo 5
Determinar
a partir da equação simplificada:
- Ao longo da curva temos
. Para tais valores de argumento, , que nunca é zero ( ). Logo nos pontos válidos da curva. - Como
, da equação segue imediatamente que
- Portanto
Passo 6
Observação alternativa (jeito mais direto e curto, que dá a mesma resposta):
- A partir da relação que vale na curva, como
então . Diferenciando diretamente:
- Como
nos pontos da curva, conclui-se e então . É o mesmo resultado, e é uma forma mais enxuta para fazer na prova.