O enunciado pede que se classifiquem os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2}.
Informações dadas e objetivo:
A função está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
A tarefa é encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo ou não existe) e classificá-los (mínimo, máximo ou sela; local/estrito/global).
Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicação didática):
Um ponto (x_{0},y_{0}) é ponto crítico de f se as derivadas parciais primeiras existem e o gradiente é nulo em (x_{0},y_{0}), isto é,
Para pontos críticos igualamos o gradiente a zero:
2x=0,\qquad 2(y-1)=0.
Resolvendo:
x=0,\qquad y=1.
Logo há um único ponto crítico: (0,1).
Passo 4
Como classificar o ponto crítico (a teoria aplicada aqui):
Usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis. Para f,
Teste de definitude (explicação prática): para matrizes 2\times2 simétricas, uma forma rápida é usar os menores principais (critério de Sylvester):
Primeiro menor principal (entrada superior esquerda): 2>0.
Determinante da Hessiana: \det H_f = 2\cdot2-0\cdot0=4>0.
Como ambos são positivos, a Hessiana é positiva definida em todo ponto. Resultado do teste: o ponto crítico é um mínimo local estrito.]
Passo 5
Interpretação adicional e argumento do mínimo global (para reforçar e saber usar na prova):
A função é soma de quadrados deslocados:
f(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2}\ge 0
para todos (x,y), porque quadrados são não negativos. A igualdade f(x,y)=0 ocorre exatamente quando x=0 e y-1=0, isto é, em (0,1). Portanto o mínimo local em (0,1) é também o mínimo global (e é estrito, pois para qualquer (x,y)\neq(0,1) tem-se f(x,y)>0). O valor mínimo é
f(0,1)=0.
Resposta
(0,1) — mínimo estrito (e mínimo global) com valor mínimo f(0,1)=0.