Classifique os pontos críticos:
f(x, y)=x^{2}+(y-1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede que se classifiquem os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2}.
Informações dadas e objetivo:
  • A função está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • A tarefa é encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo ou não existe) e classificá-los (mínimo, máximo ou sela; local/estrito/global).
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicação didática):
Um ponto (x_{0},y_{0}) é ponto crítico de f se as derivadas parciais primeiras existem e o gradiente é nulo em (x_{0},y_{0}), isto é,
\nabla f(x_{0},y_{0})=\mathbf{0}.
O gradiente reúne as derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Agora calculamos as derivadas parciais de f.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (passo a passo):
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+(y-1)^{2}\bigr)=2x,
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+(y-1)^{2}\bigr)=2(y-1).
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=(2x,\;2(y-1)).
Para pontos críticos igualamos o gradiente a zero:
2x=0,\qquad 2(y-1)=0.
Resolvendo:
x=0,\qquad y=1.
Logo há um único ponto crítico: (0,1).

Passo 4

Como classificar o ponto crítico (a teoria aplicada aqui):
Usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) e o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis. Para f,
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\[6pt] \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
Cálculo das segundas derivadas:
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x)=2,
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x)=0,
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2(y-1)\bigr)=2.
Assim a Hessiana é constante:
H_f(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Teste de definitude (explicação prática): para matrizes 2\times2 simétricas, uma forma rápida é usar os menores principais (critério de Sylvester):
  • Primeiro menor principal (entrada superior esquerda): 2>0.
  • Determinante da Hessiana: \det H_f = 2\cdot2-0\cdot0=4>0.
    Como ambos são positivos, a Hessiana é positiva definida em todo ponto. Resultado do teste: o ponto crítico é um mínimo local estrito.]

Passo 5

Interpretação adicional e argumento do mínimo global (para reforçar e saber usar na prova):
A função é soma de quadrados deslocados:
f(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2}\ge 0
para todos (x,y), porque quadrados são não negativos. A igualdade f(x,y)=0 ocorre exatamente quando x=0 e y-1=0, isto é, em (0,1). Portanto o mínimo local em (0,1) é também o mínimo global (e é estrito, pois para qualquer (x,y)\neq(0,1) tem-se f(x,y)>0). O valor mínimo é
f(0,1)=0.

Resposta

(0,1) — mínimo estrito (e mínimo global) com valor mínimo f(0,1)=0.

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