Para cada função abaixo f(x) e para cada a, calcule (quando existir): \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) e \lim _{x \rightarrow a} f(x)
d) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & \text { se } x \geq 0 ; \\\\ -x, & \text { se } x<0 .\end{array}, \mathrm{a}=0\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0, \end{cases}
e pede que calculemos (quando existirem) as três coisas abaixo em a=0:
\lim_{x\to 0^{+}} f(x),\qquad \lim_{x\to 0^{-}} f(x),\qquad \lim_{x\to 0} f(x).
As informações relevantes são:
  • Para x\ge 0 usamos f(x)=x^{2}.
  • Para x<0 usamos f(x)=-x.
  • O ponto em que devemos estudar os limites é a=0.]

Passo 2

Rápida lembrança do que cada limite significa (sem formalismo pesado, só intuição útil para prova):
  • \lim_{x\to 0^{+}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x vem pela direita de 0 (ou seja, x>0 e x tende a 0).
  • \lim_{x\to 0^{-}} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x vem pela esquerda de 0 (ou seja, x<0 e x tende a 0).
  • \lim_{x\to 0} f(x) existe se, e somente se, as duas anteriores existirem e forem iguais. Nesse caso elas determinam o valor do limite bilateral.
Uma dica prática: quando o limite lateral envolve uma função simples e contínua no lado considerado (polinômio, linear, potência com expoente inteiro não-negativo etc.), pode-se simplesmente substituir x por 0 no ramo correspondente para encontrar o limite lateral.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to 0^{+}} f(x).
Ao aproximar 0 pela direita temos x>0, então usamos o ramo f(x)=x^{2}. A função x^{2} é contínua em 0, logo o limite é o valor em 0. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}} x^{2}=0^{2}=0.
Intuição: se x é pequeno e positivo, x^{2} é ainda menor e tende a 0.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 0^{-}} f(x).
Ao aproximar 0 pela esquerda temos x<0, então usamos o ramo f(x)=-x. A função -x é contínua em 0, então o limite lateral é o valor em 0. Portanto
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{-}} (-x)= -0 = 0.
Intuição: se x é pequeno e negativo, -x é pequeno e positivo, e tende a 0.

Passo 5

Comparar os limites laterais e concluir sobre o limite bilateral.
Encontramos
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=0\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=0.
Como as duas são iguais, o limite bilateral existe e vale esse mesmo valor:
\lim_{x\to 0} f(x)=0.
Comentário extra útil para prova: o valor da função em 0 é f(0)=0^{2}=0, isto é, a função é contínua em 0. Mas a questão pedia só os limites, então isso é só um bônus para saber que tudo bate certinho.

Resposta

\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=0
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=0
\lim_{x\to 0} f(x)=0

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