Construa os gráficos das seguintes funções definidas em R e sorneça o conjunto imagem de cada uma delas:
f(x)=\left\{\begin{aligned} 2 x+1, & \text { se } x \geq 1 \\\\ 4-x, & \text { se } x<1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função definida em \mathbb{R}\) por partes: \[f(x)=\begin{cases} 2x+1, & \text{se } x\ge 1,\\[4pt] 4-x, & \text{se } x<1. \end{cases}
O que o exercício pede:
  • Construir (descrever) o gráfico de f\] em \(\mathbb{R}.
  • Fornecer o conjunto imagem (range) de f.
As informações relevantes dadas são exatamente as duas fórmulas e as respectivas restrições no domínio ( x\ge1 e x<1). Nada mais foi fornecido.]

Passo 2

Vamos analisar cada ramo separadamente e entender como desenhá-los.
Ramo direito (para x\ge1):
f(x)=2x+1.
  • É uma reta de coeficiente angular (inclinação) 2 e coeficiente linear 1.
  • Para desenhar uma reta basta saber dois pontos: já temos um ponto importante em x=1: f(1)=2\cdot1+1=3.
  • Para mais um ponto, tome x=2: f(2)=2\cdot2+1=5.
  • A reta é crescente (porque a inclinação 2>0). O ramo existe apenas para x\ge1, isto é, a partir do ponto (1,3) para a direita.
Ramo esquerdo (para x<1):
f(x)=4-x.
  • É uma reta de coeficiente angular -1 e coeficiente linear 4.
  • Pontos: para x=0, f(0)=4; para x=-1, f(-1)=5.
  • A reta tem inclinação negativa (decrescente), e o ramo está definido apenas para x<1 — ele se aproxima de x=1 pela esquerda, mas em x=1 esse ramo não contém o ponto (1,3) pois a condição ali é estrita ( x<1).

Passo 3

Pontos e comportamento juntos (para ajudar a esboçar o gráfico):
  • Para o ramo direito (reta 2x+1), temos os pontos (1,3) e (2,5). A partir de (1,3) a reta segue subindo indefinidamente para a direita.
  • Para o ramo esquerdo (reta 4-x), alguns pontos: (0,4), (-1,5). Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f(x)=4-x\to 3, isto é, a reta se aproxima do ponto (1,3) vindando da esquerda, mas como a condição é x<1 esse ramo NÃO contém o ponto (1,3) (seria desenhado com um círculo aberto em (1,3) para esse ramo).
  • Como o ramo direito inclui (1,3) (porque x=1 pertence a x\ge1), no gráfico final haverá uma bolinha cheia em (1,3) correspondente ao ramo direito.

Passo 4

Observação sobre continuidade em x=1:
  • Limite pela direita: \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(2x+1)=3.
  • Limite pela esquerda: \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(4-x)=3.
  • Valor da função: f(1)=3.
    Como os limites laterais coincidem e são iguais a f(1), a função é contínua em x=1. No gráfico isso aparece como as duas retas se encontrando no mesmo ponto (1,3), com esse ponto preenchido.

Passo 5

Descrição final do esboço do gráfico (passo a passo para desenhar na prova):
  1. Desenhe a reta y=4-x (inclinação -1, intercepto em y=4), apenas para x<1. Marque (0,4), (-1,5). Em x=1 coloque um círculo aberto em (1,3) para indicar que esse ramo não inclui x=1.
  2. Desenhe a reta y=2x+1 (inclinação 2, intercepto em y=1), somente para x\ge1. Marque (1,3) com uma bolinha preenchida (pois esse ramo inclui x=1), marque (2,5) para orientar a inclinação.
  3. Verifique que as duas retas se encontram visualmente em (1,3). À esquerda do ponto, a reta decresce conforme x diminui; à direita, a reta sobe mais inclinada.
Esses passos permitem construir o gráfico sem calculadora: basta pontos e inclinações.

Passo 6

Agora vamos determinar rigorosamente o conjunto imagem (range) de cada ramo e depois o conjunto imagem total.
Imagem do ramo esquerdo ( x<1, f(x)=4-x):
  • Coloque y=4-x. Isolando x: x=4-y.
  • A condição x<1 vira 4-y<1. Isso dá
4-y<1 \quad\Longrightarrow\quad -y< -3 \quad\Longrightarrow\quad y>3.
  • Além disso, quando x\to -\infty, y=4-x\to +\infty. Logo o conjunto de valores assumidos por esse ramo é (3,\infty) (valor 3 não é atingido por esse ramo porque para atingi-lo precisaríamos x=1, que não pertence a x<1).
Imagem do ramo direito ( x\ge1, f(x)=2x+1):
  • Coloque y=2x+1. Isolando x: x=(y-1)/2.
  • A condição x\ge1 vira (y-1)/2\ge1. Isso dá
\frac{y-1}{2}\ge1 \quad\Longrightarrow\quad y-1\ge2 \quad\Longrightarrow\quad y\ge3.
  • Para x\to\infty, y\to\infty. Portanto este ramo produz o intervalo [3,\infty).

Passo 7

União das imagens dos ramos:
  • Ramo esquerdo: (3,\infty).
  • Ramo direito: [3,\infty).
    A união é [3,\infty). Não há valores menores que 3 porque para qualquer x em qualquer ramo obtemos f(x)\ge3 e o valor 3 é realmente atingido em x=1.

Passo 8

Interpretação e conclusão prática para a prova:
  • O gráfico é formado por duas retas que se encontram em (1,3); para x<1 a reta é y=4-x (círculo aberto em (1,3) nesse ramo), e para x\ge1 a reta é y=2x+1 (inclui (1,3) com ponto cheio). A função é contínua em todo \mathbb{R} e atinge seu menor valor 3 em x=1; não há máximo (tende a +\infty quando x\to\pm\infty nas respectivas direções).

Resposta

[3,\infty)

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