Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em
.
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular os polinômios de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 da função
centrados no ponto
.
Informações dadas:
O que precisamos devolver: o polinômio de Taylor de ordem 1 em
(denotado
) e o polinômio de Taylor de ordem 2 em
(denotado
).
Passo 2
Fórmulas e ideia (passo a passo didático, com calma).
- Polinômio de Taylor de ordem 1 (expansão linear) de uma função de duas variáveis em torno de
:
onde
é o gradiente (as derivadas parciais em
), e o produto
é o produto escalar.
- Polinômio de Taylor de ordem 2 (inclui termos quadráticos) em torno de
:
onde
é a matriz Hessiana das segundas derivadas:
A forma quadrática pode ser escrita explicitamente como
Agora vamos aplicar essas fórmulas para
em
. Vou calcular passo a passo as derivadas parciais e avaliar em
.]
Passo 3
Calcular
e as derivadas parciais de primeira ordem.
Primeiro, o valor da função em
:
Derivadas parciais primeiras (regra: derivar em relação a uma variável mantendo a outra como constante):
- Derivada parcial em
:
Obs.:
porque
é tratado como constante.
- Derivada parcial em
:
Agora avaliamos em
:
Portanto o gradiente em
é
.
Passo 4
Construir o polinômio de Taylor de ordem 1 usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Interpretação rápida:
é a aproximação linear de
perto de
. Termos de ordem 2 ou maior (como
etc.) são desprezados na aproximação linear.
Passo 5
Calcular as segundas derivadas (Hessiana) para montar
.
Segundas derivadas por diferenciação das primeiras:
- Derivada segunda em
:
- Derivada mista
depois :
- Derivada mista
depois (deve coincidir com ):
- Derivada segunda em
:
Avaliar todas em
:
Então a Hessiana em
é
Passo 6
Montar o termo quadrático usando a forma explicita:
Substituindo os valores:
Portanto o polinômio de ordem 2 é:
Substituindo
,
,
:
Observação final: comparando com
, os termos de grau
(como
e
) ficam fora de
; o termo
já fazia parte da função original e aparece intacto no segundo grau.