Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em p.
h(x, y)=x^{3}+2 x^{2} y+3 y^{2}+x-y+3, p=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede: calcular os polinômios de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 da função h(x,y) centrados no ponto p=(0,0).
Informações dadas:
h(x,y)=x^{3}+2x^{2}y+3y^{2}+x-y+3,
p=(0,0).
O que precisamos devolver: o polinômio de Taylor de ordem 1 em p (denotado T_{1}) e o polinômio de Taylor de ordem 2 em p (denotado T_{2}).

Passo 2

Fórmulas e ideia (passo a passo didático, com calma).
  • Polinômio de Taylor de ordem 1 (expansão linear) de uma função de duas variáveis em torno de p=(a,b):
T_{1}(x,y)=f(a,b)+\nabla f(a,b)\cdot\begin{pmatrix}x-a\\[4pt]y-b\end{pmatrix},
onde \nabla f(a,b)=\bigl(f_x(a,b),\,f_y(a,b)\bigr) é o gradiente (as derivadas parciais em a,b), e o produto \cdot é o produto escalar.
  • Polinômio de Taylor de ordem 2 (inclui termos quadráticos) em torno de p=(a,b):
T_{2}(x,y)=f(a,b)+\nabla f(a,b)\cdot\begin{pmatrix}x-a\\[4pt]y-b\end{pmatrix} +\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}x-a & y-b\end{pmatrix}Hf(a,b)\begin{pmatrix}x-a\\[4pt]y-b\end{pmatrix},
onde Hf(a,b) é a matriz Hessiana das segundas derivadas:
Hf(a,b)=\begin{pmatrix}f_{xx}(a,b) & f_{xy}(a,b)\\[4pt] f_{yx}(a,b) & f_{yy}(a,b)\end{pmatrix}.
A forma quadrática pode ser escrita explicitamente como
\tfrac{1}{2}\bigl(f_{xx}(a,b)(x-a)^{2}+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^{2}\bigr).
Agora vamos aplicar essas fórmulas para h em p=(0,0). Vou calcular passo a passo as derivadas parciais e avaliar em (0,0).]

Passo 3

Calcular h(0,0) e as derivadas parciais de primeira ordem.
Primeiro, o valor da função em p:
h(0,0)=0^{3}+2\cdot0^{2}\cdot0+3\cdot0^{2}+0-0+3=3.
Derivadas parciais primeiras (regra: derivar em relação a uma variável mantendo a outra como constante):
  • Derivada parcial em x:
h_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}+2x^{2}y+3y^{2}+x-y+3\bigr) =3x^{2}+4xy+1.
Obs.: \frac{d}{dx}(2x^{2}y)=2\cdot 2x\cdot y=4xy porque y é tratado como constante.
  • Derivada parcial em y:
h_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+2x^{2}y+3y^{2}+x-y+3\bigr) =2x^{2}+6y-1.
Agora avaliamos em (0,0):
h_{x}(0,0)=3\cdot0^{2}+4\cdot0\cdot0+1=1,
h_{y}(0,0)=2\cdot0^{2}+6\cdot0-1=-1.
Portanto o gradiente em p é \nabla h(0,0)=(1,\,-1).

Passo 4

Construir o polinômio de Taylor de ordem 1 usando a fórmula:
T_{1}(x,y)=h(0,0)+h_{x}(0,0)\,x+h_{y}(0,0)\,y.
Substituindo os valores:
T_{1}(x,y)=3+1\cdot x+(-1)\cdot y=3+x-y.
Interpretação rápida: T_{1} é a aproximação linear de h perto de (0,0). Termos de ordem 2 ou maior (como x^{2},xy,y^{2},x^{3} etc.) são desprezados na aproximação linear.

Passo 5

Calcular as segundas derivadas (Hessiana) para montar T_{2}.
Segundas derivadas por diferenciação das primeiras:
  • Derivada segunda em x:
h_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}+4xy+1\bigr)=6x+4y.
  • Derivada mista x depois y:
h_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+4xy+1\bigr)=4x.
  • Derivada mista y depois x (deve coincidir com h_{xy}):
h_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}+6y-1\bigr)=4x.
  • Derivada segunda em y:
h_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x^{2}+6y-1\bigr)=6.
Avaliar todas em (0,0):
h_{xx}(0,0)=6\cdot0+4\cdot0=0,
h_{xy}(0,0)=4\cdot0=0,
h_{yy}(0,0)=6.
Então a Hessiana em (0,0) é
Hh(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montar o termo quadrático usando a forma explicita:
\tfrac{1}{2}\bigl(h_{xx}(0,0)\,x^{2}+2h_{xy}(0,0)\,xy+h_{yy}(0,0)\,y^{2}\bigr).
Substituindo os valores:
\tfrac{1}{2}\bigl(0\cdot x^{2}+2\cdot 0\cdot xy+6\cdot y^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot 6y^{2}=3y^{2}.
Portanto o polinômio de ordem 2 é:
T_{2}(x,y)=h(0,0)+h_{x}(0,0)\,x+h_{y}(0,0)\,y+3y^{2}.
Substituindo h(0,0)=3, h_{x}(0,0)=1, h_{y}(0,0)=-1:
T_{2}(x,y)=3+x-y+3y^{2}.
Observação final: comparando com h, os termos de grau \ge3 (como x^{3} e 2x^{2}y) ficam fora de T_{2}; o termo 3y^{2} já fazia parte da função original e aparece intacto no segundo grau.

Resposta

T_{1}(x,y)=3+x-y
T_{2}(x,y)=3+x-y+3y^{2}

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