Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular os polinômios de Taylor de ordem
e de ordem
da função em torno do ponto
. A função dada é
e o ponto de expansão é
. Portanto, as perguntas são:
- Qual é o polinômio de Taylor de ordem
de em ?\n - Qual é o polinômio de Taylor de ordem
de em ?
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula prática do polinômio de Taylor de ordem
para funções de duas variáveis: se
, então
onde:
-
é o gradiente em (ou seja, as derivadas parciais primeiras avaliadas em ); a notação significa . -
é a matriz Hessiana em , com entradas .
O polinômio de ordem(linearização) é simplesmente
Aqui
e
, pois
. Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (faço cada passo mostrando o raciocínio):
- Para
, ao derivar em relação a tratamos como constante. A derivada de é , então
- Ao derivar em relação a
, é tratado como constante, então
Agora as segundas derivadas:
- Derivando
em relação a (novamente constante):
- Derivando
em relação a (aqui é constante):
- Como
não depende de , temos
Observação: por suavidade da função,
.
Passo 4
Avaliar
e todas as derivadas em
. Lembre que
e
.
- Valor da função:
- Derivadas primeiras em
:
- Derivadas segundas em
:
Portanto o gradiente em
é
e a Hessiana em
é a matriz nula
Passo 5
Construir o polinômio de Taylor de ordem
(linearização) usando a fórmula
Substituindo os valores obtidos:
Interpretação curta: a aproximação linear de
perto de
é simplesmente
; isso corresponde ao diferencial de
em
.
Passo 6
Construir o polinômio de Taylor de ordem
:
Como
é a matriz nula, a forma quadrática dá zero. Substituindo:
Comentário intuitivo extra: se expandirmos
em série:
, então
Note que o termo
tem grau
quando contado como monomial em
(porque é
), logo não aparece no polinômio de ordem
. Por isso
coincide com
neste ponto.]