Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em p.
f(x, y)=y \cos (x), p=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede: calcular os polinômios de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 da função em torno do ponto p=(0,0). A função dada é
f(x,y)=y\cos(x),
e o ponto de expansão é p=(0,0). Portanto, as perguntas são:
  1. Qual é o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em p?\n
  2. Qual é o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em p?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula prática do polinômio de Taylor de ordem 2 para funções de duas variáveis: se h=(h_1,h_2)=(x-p_1,y-p_2), então
T_2(p+h)=f(p)+\nabla f(p)\cdot h+\frac{1}{2}h^{T}Hf(p)\,h,
onde:
  • \nabla f(p)=(f_x(p),f_y(p)) é o gradiente em p (ou seja, as derivadas parciais primeiras avaliadas em p); a notação \nabla f(p)\cdot h significa f_x(p)h_1+f_y(p)h_2.
  • Hf(p) é a matriz Hessiana em p, com entradas \begin{pmatrix} f_{xx}(p) & f_{xy}(p)\\[4pt] f_{yx}(p) & f_{yy}(p)\end{pmatrix}.
    O polinômio de ordem 1 (linearização) é simplesmente
T_1(p+h)=f(p)+\nabla f(p)\cdot h.
Aqui h_1=x-0=x e h_2=y-0=y, pois p=(0,0). Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (faço cada passo mostrando o raciocínio):
  • Para \displaystyle f(x,y)=y\cos(x), ao derivar em relação a x tratamos y como constante. A derivada de \cos(x) é -\sin(x), então
f_x(x,y)=-y\sin(x).
  • Ao derivar em relação a y, \cos(x) é tratado como constante, então
f_y(x,y)=\cos(x).
Agora as segundas derivadas:
  • Derivando f_x(x,y)=-y\sin(x) em relação a x (novamente y constante):
f_{xx}(x,y)=-y\cos(x).
  • Derivando f_x(x,y)=-y\sin(x) em relação a y (aqui \sin(x) é constante):
f_{xy}(x,y)=-\sin(x).
  • Como f_y(x,y)=\cos(x) não depende de y, temos
f_{yy}(x,y)=0.
Observação: por suavidade da função, f_{xy}=f_{yx}=-\sin(x).

Passo 4

Avaliar f e todas as derivadas em p=(0,0). Lembre que \cos(0)=1 e \sin(0)=0.
  • Valor da função:
f(0,0)=0\cdot\cos(0)=0.
  • Derivadas primeiras em p:
f_x(0,0)=-0\cdot\sin(0)=0, \qquad f_y(0,0)=\cos(0)=1.
  • Derivadas segundas em p:
f_{xx}(0,0)=-0\cdot\cos(0)=0, \qquad f_{xy}(0,0)=-\sin(0)=0, \qquad f_{yy}(0,0)=0.
Portanto o gradiente em p é \nabla f(0,0)=(0,1) e a Hessiana em p é a matriz nula
Hf(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Construir o polinômio de Taylor de ordem 1 (linearização) usando a fórmula
T_1(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y.
Substituindo os valores obtidos:
T_1(x,y)=0+0\cdot x+1\cdot y=y.
Interpretação curta: a aproximação linear de f perto de (0,0) é simplesmente y; isso corresponde ao diferencial de f em (0,0).

Passo 6

Construir o polinômio de Taylor de ordem 2:
T_2(x,y)=f(0,0)+\nabla f(0,0)\cdot \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix} +\frac{1}{2}\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}Hf(0,0)\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}.
Como Hf(0,0) é a matriz nula, a forma quadrática dá zero. Substituindo:
T_2(x,y)=0+(0\cdot x+1\cdot y)+\frac{1}{2}\cdot 0 = y.
Comentário intuitivo extra: se expandirmos \cos(x) em série: \cos(x)=1-\dfrac{x^{2}}{2}+\cdots, então
f(x,y)=y\cos(x)=y-\frac{1}{2}x^{2}y+\cdots.
Note que o termo -\tfrac{1}{2}x^{2}y tem grau 3 quando contado como monomial em x,y (porque é x^{2}y), logo não aparece no polinômio de ordem 2. Por isso T_2 coincide com T_1 neste ponto.]

Resposta

T_1(x,y)=y
T_2(x,y)=y

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