Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela
f(x, y)=y^3+x^2-12 y

Passo 1

A questão pede para encontrar e classificar os extremos locais de f(x,y)=y³+x²−12y. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, determinação de pontos críticos e aplicação do teste das derivadas segundas (Hessiana).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f e igualar a zero. Primeiro, a derivada em relação a x é
partial fpartial x=2x
E em relação a y temos
partial fpartial y=3y^2-12
Para pontos críticos, resolvemos o sistema 2x=0 e 3y^2-12=0.

Passo 3

Da equação 2x=0 vem x=0. Da equação 3y^2-12=0 vem
$$
y^2=4\quad\Longrightarrow\quad y=2;ou;y=-2$$
Logo, os pontos críticos são y^2=4Longrightarrow y=2;ou;y=-2 e (0,2).

Passo 4

Agora vamos às derivadas segundas para usar o teste da Hessiana. Calculamos:
fxx=2, fyy=6y, fxy=0
O discriminante da Hessiana é
D=fxxfyy-(fxy)^2=2cdot(6y)=12y .

Passo 5

Aplicando o teste em cada ponto:
  • Em (0,2): temos D=12cdot2=24>0 e fxx=2>0, logo é ponto de mínimo local.
  • Em (0,-2): temos D=12cdot(-2)=-24<0, logo é ponto de sela.

Passo 6

Concluindo, o único extremo local é um mínimo em (0,2), e em (0,-2) há um ponto de sela.

Resposta

Ponto de mínimo local em (0,2) e ponto de sela em (0,-2).

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