Encontre os extremantes locais das funções abaixo e classifique-os em pontos de máximo, de mínimo ou de sela
Passo 1
A questão pede para encontrar e classificar os extremos locais de f(x,y)=y³+x²−12y. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, determinação de pontos críticos e aplicação do teste das derivadas segundas (Hessiana).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de f e igualar a zero. Primeiro, a derivada em relação a x é
E em relação a y temos
Para pontos críticos, resolvemos o sistema
e
.
Passo 3
Da equação
vem
. Da equação
vem
$$
y^2=4\quad\Longrightarrow\quad y=2;ou;y=-2$$
Logo, os pontos críticos são e
.
Logo, os pontos críticos são
Passo 4
Agora vamos às derivadas segundas para usar o teste da Hessiana. Calculamos:
O discriminante da Hessiana é
Passo 5
Aplicando o teste em cada ponto:
- Em
: temos e , logo é ponto de mínimo local. - Em
: temos , logo é ponto de sela.
Passo 6
Concluindo, o único extremo local é um mínimo em
, e em
há um ponto de sela.
Resposta
Ponto de mínimo local em
e ponto de sela em
.