Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em
.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é calcular os polinômios de Taylor de primeira e segunda ordem para a função
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas são usadas para construir o polinômio de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É basicamente uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto específico, usando derivadas da função nesse ponto. Para funções de duas variáveis, como a nossa, precisamos das derivadas parciais até a ordem que queremos aproximar.
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função no ponto
. Substituindo na função:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
No ponto
:
Passo 5
Com essas informações, podemos montar o polinômio de Taylor de primeira ordem. A fórmula geral para duas variáveis é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem necessárias para o polinômio de segunda ordem.
Primeiro, a segunda derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
E a derivada mista:
No ponto
, todas essas derivadas envolvem
, então:
Passo 7
Com as segundas derivadas calculadas, podemos montar o polinômio de Taylor de segunda ordem. A fórmula geral é:
Substituindo os valores:
Resposta
O polinômio de Taylor de primeira ordem é
e o de segunda ordem é igual a
, ou seja,
.