Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em p.
f(x, y)=sen(3 x+4 y), p=(0,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é calcular os polinômios de Taylor de primeira e segunda ordem para a função no ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas são usadas para construir o polinômio de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É basicamente uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto específico, usando derivadas da função nesse ponto. Para funções de duas variáveis, como a nossa, precisamos das derivadas parciais até a ordem que queremos aproximar.

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função no ponto f(0, 0) = sin(3 cdot 0 + 4 cdot 0) = sin(0) = 0 . Substituindo na função:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função fx(x, y) = partialpartial x sin(3x + 4y) = 3 cos(3x + 4y) .
A derivada parcial em relação a fy(x, y) = partialpartial y sin(3x + 4y) = 4 cos(3x + 4y) é:
fx(0, 0) = 3 cos(0) = 3 cdot 1 = 3
A derivada parcial em relação a fy(0, 0) = 4 cos(0) = 4 cdot 1 = 4 é:
No ponto :

Passo 5

Com essas informações, podemos montar o polinômio de Taylor de primeira ordem. A fórmula geral para duas variáveis é:
P1(x, y) = f(p) + fx(p)(x - px) + fy(p)(y - py)
Substituindo os valores que temos:
P1(x, y) = 0 + 3x + 4y = 3x + 4y

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem necessárias para o polinômio de segunda ordem.
Primeiro, a segunda derivada em relação a fxx(x, y) = partialpartial x fx(x, y) = partialpartial x [3 cos(3x + 4y)] = -9 sin(3x + 4y) :
fyy(x, y) = partialpartial y fy(x, y) = partialpartial y [4 cos(3x + 4y)] = -16 sin(3x + 4y)
Segunda derivada em relação a fxy(x, y) = partialpartial y fx(x, y) = partialpartial y [3 cos(3x + 4y)] = -12 sin(3x + 4y) :
fxx(0, 0) = 0
E a derivada mista:
fyy(0, 0) = 0
No ponto fxy(0, 0) = 0 , todas essas derivadas envolvem , então:

Passo 7

Com as segundas derivadas calculadas, podemos montar o polinômio de Taylor de segunda ordem. A fórmula geral é:
P2(x, y) = P1(x, y) + 12fxx(p)x^2 + fxy(p)xy + 12fyy(p)y^2
Substituindo os valores:
P2(x, y) = 3x + 4y + 12(0)x^2 + (0)xy + 12(0)y^2 = 3x + 4y

Resposta

O polinômio de Taylor de primeira ordem é e o de segunda ordem é igual a , ou seja, .

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