Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
y^prime prime+y=0, y(0)=1, y(pi)=a

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de contorno
y''+y=0, com condições
y(0)=1 e
y(pi)=a.
O conteúdo é EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes e condições de contorno; vamos usar a solução geral e aplicar as BCs.

Passo 2

A equação característica associada a
y''+y=0 é
r^2+1=0, cujas raízes são
r=pm i. Logo a solução geral da EDO é
y(x)=Acos x + Bsin x

Passo 3

Aplicando a condição de contorno
y(0)=1:
y(0)=Acos0 + Bsin0 = A = 1
Logo
A=1 e
y(x)=cos x + Bsin x

Passo 4

Agora aplicamos
y(pi)=a:
y(pi)=cos(pi) + Bsin(pi) = -1 + Bcdot0 = -1
Para que isso valha, precisamos de
a=-1.
Repare que
B não aparece na segunda BC (pois sinpi=0), ficando livre.

Passo 5

Conclusão: se aneq -1 não há como satisfazer
y(pi)=a. Se
a=-1, qualquer BinR dá uma solução, gerando uma família infinita de soluções.

Resposta

O problema tem solução se e somente se a=-1. Nesse caso a família de soluções é
$$y(x)=\cos x + B\sin x,\quad B\in\mathbb{R}.
$$Se y(x)=cos x + Bsin x, BinR , não existe solução.

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