Para cada função abaixo, calcule o quociente f(x+h)-f(x)h para h neq 0.
f(x)=ln x;

Passo 1

O enunciado pede o quociente
f(x+h)-f(x)h, hneq 0,
para a função f(x)=ln x. Vamos usar a definição de f e a propriedade de logaritmo que diz
ln(a)-ln(b)=lnl(tfracabr). Note que é preciso ter x>0 e x+h>0.

Passo 2

Substituindo f(x+h)=ln(x+h) e f(x)=ln(x), obtemos
f(x+h)-f(x)h = ln(x+h)-ln(x)h

Passo 3

Aplicando a propriedade de logaritmos
ln(x+h)-ln(x) = ln!l(x+hxr),
ficamos com
ln(x+h)-ln(x)h = 1h,ln!l(x+hxr)

Passo 4

Observe que
x+hx =1+hx,
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f(x+h)-f(x)h = 1h,ln!l(1+hxr)

Resposta

f(x+h)-f(x)h = 1h,ln!l(x+hxr) = 1h,ln!l(1+hxr)

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