Exercício 4. (Apostol, capítulo 9.5, exercício 4) Usando coordenadas polares
e
, mostre que se
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
em coordenadas cartesianas e definimos
de modo que
Queremos relacionar a norma do gradiente de
em
com as derivadas parciais de
. Para isso vamos usar a regra da cadeia e um pouco de álgebra de matrizes (rotação).
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia para
, obtemos
Passo 3
Escrevemos o sistema linear em
Invertendo esse sistema (é uma rotação seguida de escala (r]), achamos
Passo 4
A norma ao quadrado do gradiente é
Ao expandir e usar
, os termos mistos se cancelam e sobra
Passo 5
Tomando raiz quadrada em ambos os lados, concluímos