Exercício 4. (Apostol, capítulo 9.5, exercício 4) Usando coordenadas polares x=r cos (theta) e y=r sen(theta), mostre que se f(x(r, theta), y(r, theta))=g(r, theta), então
|nabla f(r cos (theta), r sen(theta))|=(partial gpartial r)^2+1r^2(partial gpartial theta)^2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f(x,y) em coordenadas cartesianas e definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
de modo que
g(r,theta) = fl(rcostheta,;rsinthetar)
Queremos relacionar a norma do gradiente de f em l(rcostheta,rsinthetar) com as derivadas parciais de g. Para isso vamos usar a regra da cadeia e um pouco de álgebra de matrizes (rotação).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para g(r,theta)=f(x(r,theta),y(r,theta)), obtemos
partial gpartial r = fx,partial xpartial r + fy,partial ypartial r = fxcostheta + fysintheta,
partial gpartial theta = fx,partial xpartial theta + fy,partial ypartial theta = fx(-rsintheta)+fy(rcostheta)

Passo 3

Escrevemos o sistema linear em
Invertendo esse sistema (é uma rotação seguida de escala (r]), achamos

Passo 4

A norma ao quadrado do gradiente é
|nabla f|^2 = fx^2 + fy^2 = l(costheta,gr - tfracsinthetar,gthetar)^2 + l(sintheta,gr + tfraccosthetar,gthetar)^2
Ao expandir e usar cos^2theta+sin^2theta=1, os termos mistos se cancelam e sobra
|nabla f|^2 = gr^2 + 1r^2,gtheta^2

Passo 5

Tomando raiz quadrada em ambos os lados, concluímos
|nabla fl(rcostheta,rsinthetar)| = raiz;gr^2 + 1r^2,gtheta^2;

Resposta

|nabla f(rcostheta,rsintheta)| = raizl(partial gpartial rr)^2 ;+;1r^2l(partial gpartial thetar)^2

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