Exercício 3. (Apostol, capítulo 9.3, exercício 8 e 9)
Seja
uma função diferenciável.
a) Mostre que se
para todo
e
, então
b) Suponha que para todo
temos
. Mostre que
. Dica: defina
e derive em relação ao tempo.
Seja
a) Mostre que se
Passo 1
O enunciado trata da propriedade de homogeneidade de uma função diferenciável
. Mais precisamente, queremos mostrar que
(a) a condição
(a) a condição
implica
e (b) a recíproca: se
então
O conteúdo principal é o “Teorema de Euler” para funções homogêneas, usando regra da cadeia e equações diferenciais simples.
Passo 2
Prova de (a): para
fixo e
, defina
Como
é diferenciável, pela regra da cadeia temos
Mas pela hipótese
, temos também
Passo 3
Compare as duas expressões para
em
. De um lado
e do outro
Logo
que é o desejado em (a).
Passo 4
Prova de (b): para
fixo e
, defina
Queremos mostrar
. Diferenciando, pela regra da cadeia,
Passo 5
Use a hipótese de (b) em
:
Assim
Passo 6
A equação diferencial
é de primeira ordem e tem solução geral
Como
, segue
e portanto
. Logo
que completa a prova de (b).
Resposta
(a)
(b)
(b)