Exercício 3. (Apostol, capítulo 9.3, exercício 8 e 9)
Seja f: R^n backslash0 R uma função diferenciável.
a) Mostre que se f(t x)=t^p f(x) para todo x in R^n backslash0 e t>0, então
lang<=nabla f(x), xrang<==p f(x)
b) Suponha que para todo x in R^n backslash0 temos lang<=nabla f(x), xrang<==p f(x). Mostre que f(t x)=t^p f(x). Dica: defina g(t)=f(t x)-t^p f(x) e derive em relação ao tempo.

Passo 1

O enunciado trata da propriedade de homogeneidade de uma função diferenciável f:R^nsetminus0toR. Mais precisamente, queremos mostrar que
(a) a condição
f(t x)=t^pf(x)(forall,xneq0,;t>0)
implica
lang<=nabla f(x),xrang<==p,f(x),
e (b) a recíproca: se
lang<=nabla f(x),xrang<==p,f(x)(forall,xneq0),
então
f(t x)=t^pf(x)
O conteúdo principal é o “Teorema de Euler” para funções homogêneas, usando regra da cadeia e equações diferenciais simples.

Passo 2

Prova de (a): para x fixo e t>0, defina
varphi(t)=f(t x)
Como f é diferenciável, pela regra da cadeia temos
varphi'(t)=lang<=nabla f(t x),,tfracddt(t x)rang<= =lang<=nabla f(t x),,xrang<=
Mas pela hipótese f(t x)=t^pf(x), temos também
varphi(t)=t^pf(x) Longrightarrow varphi'(t)=p,t^p-1f(x)

Passo 3

Compare as duas expressões para varphi'(t) em t=1. De um lado
varphi'(1)=lang<=nabla f(1cdot x),xrang<= =lang<=nabla f(x),xrang<=,
e do outro
varphi'(1)=pcdot1^,p-1f(x)=p,f(x)
Logo
lang<=nabla f(x),xrang<==p,f(x),
que é o desejado em (a).

Passo 4

Prova de (b): para xneq0 fixo e t>0, defina
g(t)=f(t x)-t^pf(x)
Queremos mostrar g(t)equiv0. Diferenciando, pela regra da cadeia,
g'(t) =lang<=nabla f(t x),xrang<= -p,t^p-1f(x)

Passo 5

Use a hipótese de (b) em y=t x:
lang<=nabla f(t x),t xrang<= =p,f(t x) Longrightarrow lang<=nabla f(t x),xrang<= =pt,f(t x)
Assim
g'(t) =pt,f(t x) -p,t^p-1f(x) =ptl(f(t x)-t^pf(x)r) =pt,g(t)

Passo 6

A equação diferencial
g'(t)=pt,g(t)
é de primeira ordem e tem solução geral
g(t)=C,t^p
Como g(1)=f(1cdot x)-1^pf(x)=0, segue C=0 e portanto g(t)equiv0. Logo
f(t x)=t^pf(x) (forall,t>0),
que completa a prova de (b).

Resposta

(a) lang<=nabla f(x),xrang<==p,f(x)
(b) f(t x)=t^pf(x)

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